数学知识在物理解题中的应用(用高考题来讲解)

一．关注《考试大纲》对能力要求的变化应用数学处理物理问题的能力是指能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、求解。二．把握应用数学处理物理问题的能力要求。1．能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系，能把有关的物理规律、物理条件用数学方程表示出来。2．在解决物理问题时，往往需要经过数学推导和求解，或用合适的数学处理，或进行数值计算；求得结果后，有时还要用图像或函数关系把它表示出来；必要时还应对数学运算的结果作出物理上的结论或解释。二．把握应用数学处理物理问题的能力要求。常见的数学思想:方程函数思想数形结合思想分类讨论思想化归转化思想常见的数学方法:三角函数法数学比例法图像求解法指数对数法几何图形法数列极限法数学极值法导数微元法空间向量的坐标运算法排列组合二项式定理法三．高考试题中常见的数学思想与方法1.光学、近代物理学试题中常见的数学思想与方法。三角函数法、几何图形法、排列组合法、指数函数法光学例1．发出白光的细线光源ab，长度为l0，竖直放置，上端a恰好在水面以下，如图1．现考虑线光源ab发出的靠近水面法线(图中的虚线)的细光束经水面折射后所成的像，由于水对光有色散作用，若以l1表示红光成的像的长度，l2表示蓝光成的像的长度，则(D)A．l1＜l2＜l0B．l1＞l2＞l0C．l2＞l1＞l0D．l2＜l1＜l0ab水高考试题剖析光学高考试题剖析ab水红蓝几何图形法三角函数法h=h/n’光学高考试题剖析例2．如图所示，S为于在平面内的内的点光源。一平面镜垂直于平面放置，它与平面的交线为MN，MN与轴的夹角θ＝30°。现保持S不动，令平面镜以速率v沿x轴正方向运动，则S经平面镜所成的像【D】A．以速率v沿x轴正方向运动B．以速率v沿y轴正方向运动C．以速度v/2沿像与S’连线方向向S运动D．以速率v沿像与S’连线方向向S运动θMNSxy光学高考试题剖析θMNSxyS’S’S1=vtS2S3=2S2几何图形法光学高考试题剖析例3．图中M是竖直放置的平面镜，镜离地面的距离可调节。甲、乙二人站在镜前，乙离镜的距离为甲离镜的距离的2倍，如图所示。二人略错开，以便甲能看到乙的像。以l表示镜的长度，h表示乙的身高，为使甲能看到镜中乙的全身像，l的最小值为【A】A．h/3B．h/2C．3h/4D．h光学高考试题剖析乙的像l几何图形法高考试题剖析例4．现有1200个氢原子被激发到量子数为4的能级上，若这些受激氢原子最后都回到基态，则在此过程中发出的光子总数是多少？(假定处在量子数为n的激发态的氢原子跃迁到各较低能级的原子数都是处在该激发态能级上的原子总数的1/(n-1))(A)A．2200B．2000C．1200D．2400原子物理光学高考试题剖析1-13.6eV2-3.4eV3-1.51eV4-0.85eV5-0.54eV原子物理排列组合法高考试题剖析例5．图示为氢原子的能级图，用光子能量为13.07eV的光照射一群处于基态的氢原子，可能观测到氢原子发射的不同波长有多少种？(B)A.15B.10C.4D.11-13.61eV2-3.4eV3-1.51eV4-0.85eV5-0.54eV原子物理高考试题剖析1-13.61eV2-3.4eV3-1.51eV4-0.85eV5-0.54eV原子物理排列组合法三．高考试题中常见的数学思想与方法1.光学、近代物理学试题中常见的数学思想与方法。2．力学高考试题中常见的数学思想与方法。三．高考试题中常见的数学思想与方法化归转化思想方程函数思想分类讨论思想几何图形法图像求解法三角函数法不等式等方法高考试题剖析力学例1．用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中,如图所示.已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为(A)A.B.C.D.31,22mgmg13,22mgmg31,42mgmg13,24mgmgabc高考试题剖析力学abcGFbcFac几何图形法与三角函数法高考试题剖析力学例2.如图所示，ab、bd、cd是竖直平面内三根固定的细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点．每根杆上都套着一个小滑环(图中末画出)．三个滑环分别从a、b、c处释放(初速为0)，用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则(D)A．t1＜t2＜t3B．t1＞t2＞t3C．t3＞t1＞t2D．t1＝t2＝t3abcd高考试题剖析力学abcd根据圆的知识解得2Rgt1＝t2＝t3＝通过做辅助线连接ab与ac,应用几何图形法，几何图形法高考试题剖析力学例3．一电场的电场强度随时间变化的图像如图所示，此电场中有一个带电粒子，在t=0时刻由静止释放，若带电粒子只受电场力作用，则下列判断正确的是（D）A.带电粒子将向一个方向运动B.1～3s内，电场力的功率为零C.3s末带电粒子的速度最大D.2～4s内，电场力的做功等于零012345t/s-202040E/(V/m)高考试题剖析力学012345t/s-202040E/(V/m)012345t/sv图象求解法高考试题剖析力学例4.某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。高考试题剖析力学t=2θT/2лrsinθ=RGMm/r2=mr(2л/T)2g=GM/R2联立解得结果.地球同步卫星阳光ABROSA’θr几何图形法与三角函数法高考试题剖析力学例5.一列简谐横波沿一直线向左传播。当直线上某质点a向上运动到达最大位移时，a点右方相距0.15m的b点刚好向下运动到最大位移处。则这列波的波长可能是()A．0.6mB.0.3mC.0.2mD.0.1mab机械横波方向有双向性质点运动有周期性，考生要有分类讨论思想，nλ+0.5λ=0.15,当n=0时λ＝0.3m,当n=1时λ＝0.1m.正确答案是BD.分类讨论思想高考试题剖析力学例6.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB边重合，如图．已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2．现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度)ABa高考试题剖析力学ABa1mgABa2mgxx1x2112xlx2112xlx函数方程思想与不等式求解法高考试题剖析力学例7.一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上．狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动．若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和．若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)．设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计．已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小．(2)求雪橇最终连度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数．(供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477)高考试题剖析力学第一次跳下雪橇：MV1+m（V1+u）=0smmMmu/1V1=－第一次跳上雪橇：MV1+mv=(M+m)V1’第二次跳下雪橇：(M+m)V1’=MV2+m（V2+u）mMmuVmM1)(V2=第二次跳上雪橇：MV2+mv=(M+m)V2’函数方程思想与数列极限法高考试题剖析力学第三次跳下雪橇：(M+m)V2’=MV3+m（V3+u）V3=2()MmVmuMm第三次跳上雪橇：MV3+mv=(M+m)V3’第四次跳下雪橇：(M+m)V3’=MV4+m（V4+u）V4=3()MmVmuMm此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s.=5.625m/s高考试题剖析力学例7.一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆孤形（圆孤由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P.高考试题剖析力学考生要有化归转化思想,弄清每个货箱的物理状态、物理过程和物理情景，能够把一个复杂的问题转化为若干较简单的问题找出它们之间的联系。可以设问（1）从A运动到D过程中每个货箱机械能增加多少？（2）摩擦力对每个货箱做功为多大？（3）传送带克服每个货箱的摩擦阻力做功是多少？(4)最后一问求电动机的平均输出功率P.化归转化思想三．高考试题中常见的数学思想与方法1.光学、近代物理学试题中常见的数学思想与方法。2．力学高考试题中常见的数学思想与方法。3．电磁学高考试题中常见的数学思想与方法。三．高考试题中常见的数学思想与方法方程函数思想数形结合思想分类讨论思想几何图形法图像求解法三角函数法不等式等方法高考试题剖析例1．水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆(见右上图)，金属杆与导轨的电阻不计；均匀磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会改变，v和F的关系如右下图。(取重力加速度g=9.8m/s2)(1)金属杆在匀速运动之前做作什么运动？(2)若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5，磁感应强度B为多大？(3)由v－F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？电磁学高考试题剖析导体切割磁感线运动考生非常熟悉，但不习惯结合图像分析导体棒运动情况和受力情况，反映考生数形结合思想淡化，造成失分。从V-F图像反映导体棒有受摩擦力作用，根据导体棒做匀速直线运动条件，列出方程：F=B2L2V/R+μmg,从V-F图像上任取两点代入方程求解B=1T,根据截距可得f=2N.电磁学方程函数思想与数形结合思想高考试题剖析例2．图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里．导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2，x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触．两杆与导轨构成的回路的总电阻为R．F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力．已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率．电磁学高考试题剖析m1gm2gF安1F安2电磁学根据平衡条件得1212FFmgmgF安安＝方程函数思想高考试题剖析例3．一匀磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。电磁学rrAR高考试题剖析由图中几何关系得L=3rrvmqvB2求