极限思想在高中数学及应用

极限思想在高中解题中的运用宜宾县一中雷勇极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。例1、过抛物线)0(2aaxy的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与QF的长分别是p、q,则qp11等于（）(A)a2(B)a21(C)a4(D)a4分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求aqp、、的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与y轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为aOFpQF41，而qPF，所以aqp411，故选择（C）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。例2、正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A（2,nn）B（1,nn）C（0,2）D（21,nnnn）xyFPQOHAnA1A2A3S分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正n多边形的一个内角，即为2nn，因此，所求二面角的范围应为（2,nn）例3、已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点0P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角），设4P坐标为),0,(4x若,2x14则tg的取值范围是（）A．)1,31(B．)32,31(C．)21,52(D．)32,52(分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出tg的取值范围，根据极限的观点，令14x，不妨令4P与0P重合，依据入射角等于反射角，即知1P、2P、3P均为各边中点，此时21tan，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C）例4、已知函数21()(1)4fxx，若存在,tt为实数，只要[1,]xm(1)m，就有()fxx，则m的最大值是分析：作函数yx与21(1)4yx的图像，平移f(x)的图像.使之与直线yx交于（1，1）和(,),(1)mmm两点，此时所得的图像是()yfxt，图像的极端位置；于是解方程组(1)1()ftfmtm，再由1m，得49tm，所以max9mx4PBCD0P1P2P3PAy108642-2-10-55gx=x3x-3fxx+1例5、已知数列na中，51a且对于任意正整数n，总有21nnnaaa，是否存在实数ba,，使得nnbaa)43(，对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。分析:如果这样的ba,存在的话，则由nnbaa43，可得aannlim。对21nnnaaa两边取极限，得2aaa，解得0a或3a。若0a，则数列na应该是以51a为首项、以43q为公比的等比数列，于是，1435nna，415435122a不符合2112aaa显然，不可能对任意的正整数n都满足21nnnaaa；若3a，将51a代入nnbaa43，可求得38b，此时，nna43383，验证：224338335a，不符合nna43383。所以，这样的实数ba,不存在。例6、设n为自然数，求证:41121251912n分析：当1n时，不等式显然成立。设1kkn时，不等式成立，即41121251912k1那么，当1kn时，2223214132112125191kkk由于41321412k，证到此处，用数学归纳法证题思路受阻。之所以用数学归纳法证题思路行不通，其原因在于41是一个常数，从k到1k右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想4114limnnn，且当1n时，918114nn，不妨把要证结论强化为：14121251912nnn2证明：①当1n时，918114nn，不等式2成立，②设1kkn时，不等式2成立，即14121251912kkk那么，当1kn时，)2(41)42)(22(1141)32(1)1(432112125191222kkkkkkkkkkk即当1kn时，不等式2成立，所以有4114121251912nnn通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。