电动力学二答案

习题二1．将一个位于真空中的带电导体球切成两半，求它们之间的排斥力．设球的半径为0R，球的电势为0V．答案：.ˆ2200zeVF解：0004RqV，0004VRq，.000RVzzeVeRFˆ2ˆ22002002２．内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为f，板间填充电导率为的非磁性物质．⑴证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消．因此内部无磁场．⑵求f随时间的衰减规律．⑶求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度．⑷求长度为l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率．⑵;0tfe⑶22rf；⑷.ln222ablf解：⑴rferDˆ2，.ˆ2rferDE.ˆ2rfferEJ.ˆ21rfDetrtDJ对两式求散度，并且由fD，0tJff得fft，所以0tDJf。因为介质是非磁性的，即HB，故任意一点，任意时刻有000tDJHBf⑵由fft，解这个微分方程得tfet0⑶222/rEEJpff⑷长度为l的一段介质耗散的功率为.ln222222ablrldrrfbaf能量密度22/,21rtwDEwf长度为l的一段介质内能量减少率为.ln2222ablrldrtwfba３．一很长的直圆筒，半径为R，表面上带有一层均匀电荷，电荷量的面密度为．在外力矩的作用下，从0t时刻开始，以匀角加速度绕它的几何轴转动，如图所示．⑴试求筒内的磁感应强度B；⑵试求筒内接近内表面处的电场强度E和玻印廷矢量S；⑶试证明：进入这圆筒长为l一段的S的通量为2022BlRdtd．答案：⑴RB0；⑵eeRrErˆˆ210；rerRSˆ212320．z解：⑴单位面电流RlTRli2ReiBz00ˆ⑵在圆筒的横截面内，以轴线为心，r为半径作一圆，通过这圆面积的磁通量为RrSdBs02由法拉第定律，得.21210dtdRrdtdrE因为t所以rRE021考虑到方向，则有zreerREˆˆ210在筒内接近表面处，zreeREˆˆ2120该处的能流密度为zzrRRReReeRHESˆˆˆ2120retRˆ212320负号表明，S垂直于筒表面指向筒内。⑶进入这圆筒长为l一段的S的通量为ltRRlSRs24202而ltRdtdBBlRBlRdtd2420022022所以2022BlRdtdS讨论：此结果表明，筒内磁场增加的能量等于S流入的能量。由于筒未转动时，筒内磁场为零，磁场能量为零，磁场能都是经过玻印廷矢量由表面输入的。４．已知太阳光正入射时，地面上每平方厘米每分钟接收太阳光的能量为cal94.1，Jcal1868.41．设射到地面上的太阳光全部被吸收．已知地球的半径为km3104.6，试求太阳光作用在整个地球上的力．答案：NdtdpF8108.5．解：电磁波动量密度大小为200cSSG在t时间内射到地球上的太阳光的动量为cStRctGRp22这些动量全被太阳吸收，故太阳所受力为NdtdpF8108.55．由电磁场存在时的动量守恒定律导出角动量守恒定律。解：电磁场存在时动量守恒定律的微分形式为Tgtf（1）其中20200001211,BEIBBEETBEg分别为电磁场动量密度和电磁场动量流密度。对（1）式左边取与r矢量积，得grprtgprt,,分别为机械角动量和电磁场角动量。（1）式右边取与r矢量积，得ljlklkjlijkllkjijkixxTTxxxTxTr)(ijk表示有两个相同指标应该从1~3取和，且kjijkibaba。上式右边第一项可表示为irT；第二项利用jlljxx可以化为jkijkT，若注意到ijk对于指标jk为反对称，而jkT为对称张量，因此该项应该为零。于是最后得到角动量守恒定律的形式为Mt场力，其中rTM，这就是电磁场的角动量守恒定律。6．一根长l为的细金属棒沿铅直地竖立，然后用手轻轻地向东推一下使它向东倒下，求它倒到水平位置那一瞬间棒端的电势差（设地磁水平分量为H）.解设棒地质量为m，棒绕端点转动的转动惯量是231mlI，g为重力加速度，当金属棒竖直地倒下接触地面时，其角速度由下式给出，2212lmgI显然lg3分析本题实质上是导体在不变磁场中的运动问题，导体中的感应现象是由于导体中自由电子受BvFe作用而产生的，在随导体运动的观察者看来，F是作用在静止电荷上的电力，故可将F视为一种等效电场的作用，即BvE，∴棒倒在水平位置两端电势差为HglHglxdxHHdxxddll030003002343)(lBvlE7．有一放射性材料制成的小球，总电荷为Q，由于小球周围形成沿径向流出的电流，因而Q逐渐减小，假定电流的大小在各不同方向上都相同，求（1）电流密度J（2）位移电流密度DJ（3）证明磁感应强度0B解（1）由电荷守恒定律JrddtdQ24sJ故3rdtdQrJ413rQrE043DrdtdQtrEJ410（3）0)(0DJJB而0B故0B8．在点电荷q的电场中，距离它为d的地方有一电偶极子，其偶极矩为P，求下列两种情况下，此偶极子所受的力F和力矩N.（1）偶极子的偶极矩P沿点电荷电场的方向，（2）偶极子的偶极矩P垂直于点电荷的电场.解方法一：)3rrqe(3rrFFF∵2ldr2ldr（rr,分别为q到e和e的距离）∴321211ddrdlld32211dd1rdlld最后得53333ddrrddllrr∴53333dqdqdeqdqe5ddppdldlF3dqpdFdN（1）当p沿d方向：（设de是d方向的单位矢量）dd52dqpdp3qddpqeeF33；N=0（2）当p⊥d方向时3dqpF;nN2dqp(n为垂直d、p的单位矢量)