小升初六年级数学名校冲刺精编讲义第20讲--立体图形的表面积和体积(教师版)

爱永远宝贝爱永远宝贝第20讲立体图形的表面积和体积小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式：立体图形表面积体积长方体S=2)(bhahaba：长b:宽h：高S：表面积VabhVSh正方体S=26aa：棱长S：表面积3VaVSh圆柱222π2πSrhr圆柱侧面积个底面积2πVrh圆柱圆锥22ππ360nSlr圆锥侧面积底面积注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长21π3Vrh圆锥体知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点.（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积.（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.hrhr爱永远宝贝爱永远宝贝（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。考点一：长方体和正方体表面积的变与不变【例1】（2019•射洪县）把若干个边长2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立体图形，这个立体图形的表面积是平方厘米．【思路分析】要求这个立方体的表面积是多少平方厘米，只要看这个正方体的表面由多少个小正方形组成，通过观察，可以得出，立体图形的上面有339个小正方形，下面也有9个小正方形；左面和右面各有9个小正方形；前面和后面各有10个小正方形，这样得出这个立方体的表面是由56个小正方形组成；小正方形的面积可根据“正方形的面积边长边长”得出；然后用小正方形的面积乘正方形的个数即可；【规范解答】解：(94102)(22)，564，224（平方厘米）；答：这个立方体的表面积是224平方厘米．故答案为：224．【名师点评】此题考虑大立方体的表面是由多少个小正方形组成，然后根据公式求出小正方形的面积，用小正方形的面积乘个数即可得出结论．【例2】把一个长12cm、宽6cm、高9cm的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块．这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了多少平方厘米？（请你将几种情况都写出来）【思路分析】把一个长方体截成两个长方体，只锯一次，增加两个横截面，（1）切割时，平行于126面切割，这样切割后，就增加了2个126面的面积，由此即可解决问题；（2）切割时，平行于129面切割，这样切割后，就增加了2个129面的面积，由此即可解决问题；爱永远宝贝爱永远宝贝（3）切割时，平行于96面切割，这样切割后，就增加了2个96面的面积，由此即可解决问题．【规范解答】解：（1）1262722144（平方厘米）答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了144平方厘米．（2）1292[来源:Z§xx§k.Com]1082216（平方厘米）答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了216平方厘米．（3）962542108（平方厘米）答：这两个小长方体木块的表面积之和比原来长方体木块的表面积增加了108平方厘米．【名师点评】本题考查了长方体切割后的图形的表面积计算，根据长方体切割小长方体的方法，明确表面积增加的2个面是几几的面是解决本题的关键．1．（2019春•江西校级期末）如图每个小正方体积木的边长是2厘米，把它们堆放在墙角，露在外面的面的面积是平方厘米．【思路分析】从正面看能看到6个小正方形的面，从上面看能看到6个小正方形的面，从右面看能看到6个小正方形的面，共看到66618（个)，每个小正方形的面积是：224平方厘米，所以露在外面的面积是41872厘米2，据此解答．【规范解答】解：22(666)41872（平方厘米）爱永远宝贝爱永远宝贝答：露在外面的面的面积是72平方厘米．故答案为：72．【名师点评】本题考查了从不同方向观察物体的三视图的灵活应用，关键是得出露在外面的小正方形面的个数．2．（2019•萧山区模拟）一个长方体如果高增加2cm就成了一个正方体，而且表面积增加24平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？【思路分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加2厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大2厘米，因此增加的24平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长(244)23厘米，由于长比高多2厘米，那么高321厘米，由此再利用长方体的表面积计算公式计算即可解答．【规范解答】解：24423（厘米）321（厘米）332314181230（平方厘米）答：原来长方体的表面积是30平方厘米．【名师点评】本题主要考查长方体正方体表面积的实际应用，解答本题的关键是根据高增加2cm，就变成一个正方体，可知增加的部分是长为2厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积的计算方法即可求解．3．（2019•深圳校级模拟）把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少？【思路分析】根据两个长方体拼组成大长方体的方法，拼在一起的面越小，那么拼组后的大长方体的表面积就越大，反之，拼组后的表面积就越小；所以要使拼成的一个大长方体的表面积最小，只要把两个大面(97)拼在一起，然后用两个小长方体的表面积之和减去减少的面积解答即可．【规范解答】解：(979474)22972，12722126，508126，382（平方厘米）；答：大长方体的表面积最小是382平方厘米．【名师点评】解决本题的关键是明确拼组后的长方体的表面积等于这两个小长方体的表面积之和减少的两个面的面积．爱永远宝贝爱永远宝贝4．将一个表面积为272cm的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体（如图），求大长方体的表面积．【思路分析】等分成两个长方体后，表面积会增加2个正方形的面，也就是说有8个正方形的面积；一个正方形的面积：272612()cm；再拼成的大长方体的拼法是把最小面(12的一半）粘合，即粘合了1个面积为212cm的正方形．这样大长方体的表面积其实就是7个正方形的面的面积；据此解答即可．【规范解答】解：7267，[来源:Z_xx_k.Com]127，84（平方厘米）；答：大长方体的表面积是84平方厘米．【名师点评】解答此题的关键：明确后来拼成的长方体的面积其实就是7个正方形的面的面积，是解答本题的关键所在．考点二：长方体和正方体体积的变与不变【例3】（2019•徐州）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加160立方厘米．原长方体的表面积是平方厘米．【思路分析】由题意，长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽高240立方厘米，则宽高20平方厘米．同理可知长高30平方厘米，长宽40平方厘米，根据长方体的表面积（长宽长高宽高）2．列式解答．【规范解答】解：（长宽长高宽高）2(4029031604)2(203040)2180（平方厘米）答：这个长方体的表面积是180平方厘米．故答案为：180．【名师点评】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．根据长方体的爱永远宝贝爱永远宝贝表面积公式解答即可．【例4】（2019•龙海市）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？【思路分析】根据长方体的特征，相对的面面积相等，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，表面积减少了120平方厘米，减少的只是前后左右的侧面积，因为截去两部分后又露出两个底面；又因为剩下部分是正方体，因此减少部分（上下）的4个面的面积相等，因此求出一个面的面积，120430（平方厘米），再除以上下部分的高就可以求出剩下部分正方体的棱长；由此解答．【规范解答】解：1204(23)3056（厘米）；66(65)3611396（立方厘米）；答：原来长方体的体积是396立方厘米．【名师点评】此题主要考查长方体的体积计算，解答的关键是理解表面积减少的只是侧面积，只要求出剩下部分正方体的棱长，再利用长方体的体积公式解答即可．1．有大、中、小三个正方体水池，它们的棱长分别是6米、3米、2米，把两堆碎石分别沉落在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米、4厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面将升高多少厘米？（得数保留一位小数）【思路分析】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，可知底面是不变的，只是水面会升高，升高那部分水的体积就是所放碎石的体积，利用长方体的体积公式长宽高求出两堆碎石的体积；再将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，底面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆碎石的体积，那就用两堆碎石的体积除以大正方形水池的底面积即可求出．【规范解答】解：6米600厘米3米300厘米2米200厘米放中池里碎石的体积：3003006540000（立方厘米）放小池里碎石的体积：2002004160000（立方厘米）两堆碎石总体积：540000160000700000（立方厘米）大水池的水面升高：700000(600600)1.9（厘米）答：大水池的水面将升高大约1.9厘米．【名师点评】此题主要是利用规则图形长方体的体积公式，来将不规则固体借助水的流动性变成规则的形爱永远宝贝爱永远宝贝状，底面是不变的，水面升高那部分体积就是不规则物体的体积，再利用体积公式解答即可．2．（2019秋•东海县期末）有一个长方体容器（如图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深应该是多少厘米？【思路分析】先根据长方体的体积公式Vabh，求出长方体玻璃箱内水的体积，由于玻璃箱内水的体积不变，把水箱的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度，然后即可解答．【规范解答】解：30206(2010)，3600200，18（厘米），答：里面的水深应该是18厘米．【名师点评】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃箱的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度．3．（2019•温江区）有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是．【思路分析】正面和上面之和为209，所以长宽长高长（宽高）209，把209分解因数为：2091119，又因为长、宽、高都是质数，（1）若长19，宽高11，11是奇数，只