《信号与线性系统》试题与答案6

如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围解：设加法器输出信号X(z)X(z)=F(z)+a/Z*X(z)Y(z)=(2+1/z)X(z)=(2+1/z)/(1-a/z)F(z)H(z)=(2+1/z)/(1-a/z)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，故|a|1周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图，并求f(t)的平均功率。解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即显然1是该信号的直流分量。的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/12，根据帕斯瓦尔等式，其功率为P=是f(t)的[π/4]/[π/12]=3次谐波分量；是f(t)的[π/3]/[π/12]=4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图1z∑∑2aF(z)Y(z)63sin41324cos211tt263cos41324cos211)(tttf34cos21t323cos4132374121212112234cos21t323cos41(a)(b)oAn1264320A2141ωoω33461232n1二、计算题（共15分）已知信号)()(tttf1、分别画出01)(tttf、)()()(02ttttf、)()(03ttttf和)()()(004tttttf的波形,其中00t。（5分）2、指出)(1tf、)(2tf、)(3tf和)(4tf这4个信号中，哪个是信号)(tf的延时0t后的波形。并指出哪些信号的拉普拉斯变换表达式一样。（4分）3、求)(2tf和)(4tf分别对应的拉普拉斯变换)(2sF和)(4sF。（6分）1、（4分）2、)(4tf信号)(tf的延时0t后的波形。（2分）3、stssFsF02121)()(（2分）0241)(stessF。（2分）三、计算题（共10分）如下图所示的周期为2秒、幅值为1伏的方波)(tus作用于RL电路，已知1R，HL1。1、写出以回路电路)(ti为输出的电路的微分方程。2、求出电流)(ti的前3次谐波。解“1、ttttus2,2,022,1)(。（2分）2、510)cos(21)(nnsntaatu)5cos(52)3cos(32)cos(221)cos()2sin(22151tttntnnn（3分）3、)()()(tutitis（2分）4、)3sin(51)3cos(151)sin(1)cos(121)(ttttti（3分）四、计算题（共10分）已知有一个信号处理系统，输入信号)(tf的最高频率为mmf2，抽样信号)(ts为幅值为1，脉宽为，周期为ST（ST）的矩形脉冲序列，经过抽样后的信号为)(tfS，抽样信号经过一个理想低通滤波器后的输出信号为)(ty。)(tf和)(ts的波形分别如图所示。1、试画出采样信号)(tfS的波形；（4分）2、若要使系统的输出)(ty不失真地还原输入信号)(tf，问该理想滤波器的截止频率c和抽样信号)(ts的频率sf，分别应该满足什么条件？（6分）解：1、（4分）2、理想滤波器的截止频率mc,抽样信号)(ts的频率msff2。（6分）五、计算题（共15分）某LTI系统的微分方程为：)(6)(2)(6)(5)(tftftytyty。已知)()(ttf，2)0(y，1)0(y。求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应)(tyzi、)(tyzs和)(ty。解：1、sesdtedtetsFststst1|1)()(000。（2分）2、)(6)0(2)(2)(6)0(5)(5)0()()(2sFfssFsYyssYyssysYs（3分）3、35276511265)0(5)0()0()(22sssssssyysysYzi21112216532)(2sssssssssYzs）（ssssssssYzi1653265112)(22（5分）4、)()57()(32teetyttzi)()1()(2tetytzs)()561()(32teetytt（5分）六、计算题（共10分）如下图所示的RC低通滤波器网络。已知电容C的初始电压为VuC1)0(。（共10分）1、写出该电路的s域电路方程，并画出对应的电路图。（2分）2、写出以电容电压)(sUC为输出的电路的系统函数)())(sUsUSHSC（的表达式。（2分）3、求出)(sH的极点，判断该RC网络的稳定性。（2分）4、求出该RC网络的频率特性)(jH。（2分）5、求出该RC网络的幅频特性|)(|jH和相频特性)(j的表达式，并画出频率特性图。（2分）解：1、susIsCRsUcSS)0()()1()(或)()]0()([)(sUussCURsUCcCS（2分）2、sCsRCsCRsCSH1111)(（2分）3、)(sH的极点RCs11，该RC网络是稳定的。（2分）已知象函数)2)(1()(2zzzzF求逆z变换。其收敛域分别为：（1）z2(2)z1(3)1z2解：部分分式展开为232131)2)(1()(zzzzzzzF232131)(zzzzzF(1)当z2，故f(k)为因果序列kkfkk(])2(32)1(31[)((2)当z1，故f(k)为反因果序列)1(])2(32)1(31[)(kkfkk(3)当1z2，)1()2(32)()1(31)(kkkfkk已知象函数)3)(2)(1)(21()1294()(23zzzzzzzzzzF求逆z变换。其收敛域分别为：（1）z3(2)1z2解：32125.0)(zzzzzzzzzF（1）z3由收敛域可知，上式四项的收敛域满足z3，kkkkkfkkk()3()()2()(2)()21()((2)1z2由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足z1，后两项满足z2。)1()3()1()2()(2)()21()(kkkkkfkkk1．系统的激励是)t(e，响应为)t(r，若满足dt)t(de)t(r，则该系统为线性、时不变、因果。（是否线性、时不变、因果？）2．求积分dt)t()t(212的值为5。3．当信号是脉冲信号f(t)时，其低频分量主要影响脉冲的顶部，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿。4．若信号f(t)的最高频率是2kHz，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为8kHz。5．信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带内，要求系统幅频特性为一常数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。6．系统阶跃响应的上升时间和系统的截止频率成反比。7．若信号的3sF(s)=(s+4)(s+2)，求该信号的)j(Fj3(j+4)(j+2)。8．为使LTI连续系统是稳定的，其系统函数)s(H的极点必须在S平面的左半平面。9．已知信号的频谱函数是））00(()j(F，则其时间信号f(t)为01sin()tj。10．若信号f(t)的211)s(s)s(F，则其初始值)(f01。二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。（每小题2分，共10分）1.单位冲激函数总是满足)()(tt（√）2.满足绝对可积条件dttf)(的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅立叶变换。（×）3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。（√）4.连续LTI系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。（√）5.所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。（×）三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分，6题15分，共60分）1.信号)t(ue)t(ft21，信号其他，01012t)t(f，试求)t(f*)t(f21。（10分）解法一：当0t时，)t(f*)t(f21=0当10t时，()120()*()222tttftftede当1t时，1()120()*()22(1)ttftftedee解法二：122(1)22L[()*()]2(2)(2)2222()22ssseeftftssssssessss112()*()2()2()2(1)2(1)ttftftuteututeut2.已知)2)(1(10)(zzzzX，2z，求)(nx。（5分）得分得分解：()101010(1)(2)21Xzzzzzzz，收敛域为2z由1010()21zzXzzz，可以得到()10(21)()nxnun3.若连续信号)t(f的波形和频谱如下图所示，抽样脉冲为冲激抽样)nTt()t(nsT。（1）求抽样脉冲的频谱；（3分）（2）求连续信号)t(f经过冲激抽样后)t(fs的频谱)(Fs；（5分）（3）画出)(Fs的示意图，说明若从)t(fs无失真还原)t(f，冲激抽样的sT应该满足什么条件？（2分）(t)ftO)(FOmm1解：（1）)nTt()t(nsT，所以抽样脉冲的频谱[()]2()TnsnFtFn1nsFT。（2）因为()()()sTftftt，由频域抽样定理得到：1[()][()()]()*()21()sTssnsnsFftFfttFnFnT（3）)(Fs的示意图如下Omm1sT()sFss)(Fs的频谱是()F的频谱以s为周期重复，重复过程中被1sT所加权，若从)t(fs无失真还原)t(f，冲激抽样的sT应该满足若2,smsmT。4.已知三角脉冲信号)t(f1的波形如图所示（1）求其傅立叶变换)(F1；（5分）（2）试用有关性质求信号)tcos()t(f)t(f0122的傅立叶变换)(F2。（5分）解：（1）对三角脉冲信号求导可得：1()22[()()][()()]22dftEEututututdt21()18[][sin()]4dftEFdtj，可以得到21()()24EFSa。（2）因为)tcos()t(f)t(f012222[()]()224jEFfteSa00()()2200220()()11[()cos()]2224224jjEEFftteSaeSa5.电路如图所示，若激励信号)t(u)ee()t(ett3223，求响应)t(v2并指出响应中的强迫分量、自由分量、瞬态分量与稳态分量。（10分）解：由S域模型可以得到系统函数为221()2()2()222VsssHsEsss由)t(u)ee()t(ett3223，可以得到2(t)f12tOE+-+-e(t)(t)v211F2132()23Esss，在此信号激励下，系统的输出为2123232()(