2019年高中数学必修四第二章《平面向量》章末复习

章末复习2019.4第二章平面向量学习目标1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝______________减法a－b＝_____________三角形平行四边形三角形(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)向量的线性运算数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0λa＝__________向量的数量积运算a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)，规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b＝__________相同相反(λx1，λy1)x1x2＋y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a＝.②基底：把的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使.不共线任意有且只有一对不共线所有b＝λaλ1e1＋λ2e23.向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b有唯一实数λ使得_____________x1y2－x2y1＝0a⊥b______________________b＝λa(a≠0)a·b＝0x1x2＋y1y2＝0提示当a，b同向共线时，a·b0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b0，但a和b的夹角为π.2.若向量AB→和向量CD→共线，则A，B，C，D四点在同一直线上.()[思考辨析判断正误]1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()提示平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底.提示也可能AB∥CD.3.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()4.若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角.()××××答案提示题型探究类型一向量的线性运算例1若D点在三角形ABC的边BC上，且CD→＝4DB→＝rAB→＋sAC→，则3r＋s的值为A.165B.125C.85D.45答案解析√反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1(2017·广东深圳二模)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC→＝λAM→＋μBD→，则λ＋μ等于A.43B.53C.158D.2答案解析√类型二向量的数量积运算例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝3|a－kb|(k0).(1)用k表示数量积a·b；解由|ka＋b|＝3|a－kb|，解答得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝cos2α＋sin2α＝1，|b|＝cos2β＋sin2β＝1，∴a·b＝2k2＋28k＝k2＋14k(k0).∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，解答解a·b＝k2＋14k＝14k＋1k.由对勾函数的单调性可知，f(k)＝14k＋1k在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12，(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.此时a与b的夹角θ的余弦值cosθ＝a·b|a||b|＝12，又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的夹角和模的问题①设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π)cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.跟踪训练2已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为A.－58B.18C.14D.118答案解析√解析∵BC→＝AC→－AB→，AF→＝AD→＋DF→＝12AB→＋32DE→＝12AB→＋34AC→，∴BC→·AF→＝(AC→－AB→)·12AB→＋34AC→＝12×1×1×12－12＋34－34×1×1×12＝14＋34－12－38＝18.类型三向量坐标法在平面几何中的应用例3在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝2，则CM→·CN→的取值范围为________.32，2答案解析反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.答案解析跟踪训练3如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120°，点C在AB上，且∠COB＝30°，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ等于A.3B.33C.433D.23√达标检测答案12345解析1.设D为△ABC所在平面内一点，BD→＝3CD→，则A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝43AB→－13AC→C.AD→＝23AB→－12AC→D.AD→＝－12AB→＋32AC→√A.30°B.45°C.60°D.120°2.已知|a|＝1，a·b＝12，|a－b|2＝1，则a与b的夹角等于答案12345√解析12345A.12B.2C.－12D.－2√答案解析3.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为解析ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1).∵ma＋4b与a－2b共线，∴(2m－4)×(－1)－(3m＋8)×4＝0，解得m＝－2.答案解析123454.若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，OA→·OB→＝0，则|AB→|＝________.25解析由题意可知，△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA→|＝|OB→|＝10，由勾股定理得|AB→|＝20＝25.12345解答5.平面向量a＝(3，－1)，b＝12，32，若存在不同时为0的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t).规律与方法1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.