3流体动力学理论基础

第3章流体动力学理论基础实际工程中经常遇到运动状态的流体。流体的运动特性可用流速、加速度等一些物理要素来表征。流体动力学研究运动要素随时空的变化情况，建立它们之间的关系式，并用这些关系式解决工程上的问题。经典力学中有质量守恒定律、能量守恒定律及动量守恒定律。本章先建立流体运动的基本概念，然后依据流束理论，从质量守恒定律出发建立流体的连续性方程、从能量守恒定律出发建立流体的能量方程，从动量定理出发建立流体的动量方程。本章的主要内容：•流体运动的基本概念•流体运动的总流理论——恒定总流连续性方程、能量方程和动量方程•流体运动的流场理论——理想流体的运动方程、N-S方程和恒定平面势流任务：建立描述流体运动的基本方程，并理解其物理意义、掌握其实际应用。本章重点：恒定总流的连续性方程、能量方程和动量方程及其应用3-1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法(LagrangeMethod)拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。所以这种方法又可叫做质点系法。用质点起始坐标(a，b，c)作为质点的标志,任意时刻质点的位置坐标是起始坐标和时间变量的连续函数。)()()(tcbazztcbayytcbaxx、、、、、、、、、ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),,,(),,,(),,,(运动轨迹质点速度(1)(a，b，c)=C,t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。(2)(a，b，c)为变数，t=C，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。加速度222222tztuatytuatxtuazzyyxx二、欧拉法(EulerMethod)欧拉法是以考察不同流体质点通过固定空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做流场法。通常在同一时刻不同空间点上的流速是不同的，同一空间点上不同时刻的速度也不同，即流速是空间坐标（x，y，z）和时间t的函数：速度)()()(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx、、、、、、、、、若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得在某一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况。若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速的分布情况(即流速场)。)()()(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx、、、、、、、、、加速度是速度的全微分。对于流体质点，不同时刻位于不同的空间位置。故质点加速度必須按复合函数求导数的法则求导：分量类似地有：ay=……;az=……zuuyuuxuutudtdzzudtdyyudtdxxutudtudazyxzuuyuuxuutuaxzxyxxxx式中第一项叫时变加速度或当地加速度(LocalAcceleration)，流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度(ConnectiveAcceleration)。zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看流体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。均匀流是迁移加速度为零。zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxx1、在水位恒定的情况下：(1)A→A’不存在时变加速度和位变加速度。(2)B→B’不存在时变加速度，但存在位变加速度。2、在水位变化的情况下：(1)A→A’存在时变加速度，但不存在位变加速度。(2)B→B’既存在时变加速度，又存在位变加速度。问题：均匀流是：A、当地加速度为零C、向心加速度为零D、合加速度为零B、迁移加速度为零在实际工程中，一般都只需要弄清楚在某一些空间位置上流体的运动情况，而并不去追究流体质点的运动轨迹。例如，研究一个隧洞中的水流，只要知道了液体经过隧洞中不同位置时的速度及动压力，这样就能满足工程设计的需要。所以，欧拉（Euler）法对工程流体力学的研究具有重要的意义。恒定流(SteadyFlow)：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。§3-2研究流体运动的若干基本概念一、恒定流与非恒定流水位不变恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零：00tptututuzyx非恒定流(unsteadyflow)：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。在实际工程中，常把运动参数随时间变化缓慢的流动按恒定流处理，以求简化。流场和运动参数•流场指充满运动流体的空间。•运动参数指表征流体运动特征的物理量。二、一元流、二元流、三元流凡流体中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种流体称为一元流(One-dimensionalFlow)。流场中任何点的运动要素和两个空间自变量有关，此种流体称为二元流(Two-dimensionalFlow)。若流体中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种流体称为三元流。三、迹线与流线拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况，引出了迹线的概念；欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动情况引出了流线的概念。1、迹线与流线的概念迹线(pathline)：某一流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点连成的线称为迹线，即流体质点运动时所走过的轨迹线。图示烟火的轨迹。流线(StreamLine)：是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。2、流线的特性1)恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变。2)恒定流时流体质点运动的迹线与流线相重合。3)流线不能相交。(因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。)4)流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。(因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。)5)流线簇的疏密反映了速度的大小(流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小)。(因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。)3、流线方程设m为流线上的一点，该点的流速为u,从该点沿流线方向取一微元段dr，u和dr在x、y、z轴上的分量分别为ux、uy、uz和dx、dy、dz，根据流线定义u与dr（即该点的切线方向)方向一致，即流线的微分方程yuxuyudydxdr流线xzyxudzudyudxudrudzudrudyudrudxzyxdrdzuudrdyuudrdxuuzyx迹线方程由运动微分方程即可推出迹线的微分方程式中，时间t是自变量，而x,y,z是t的因变量。dtudzudyudxzyxdtudzdtudydtudxzyx思考题实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的运动，确定流体流动趋势。解(1)流线微分方程：积分得：流线方程不同时刻(t=0,1,2)的流线是三组不同斜率的直线族。例已知速度场ux=a，uy=bt，uz=0。试求：(1)流线方程及t=0，t=1，t=2时的流线图；(2)迹线方程及t=0时过(0，0)点的迹线。cxabtybtdyadx1cbtxay(2)迹线方程积分得yt0t1t2t3t4C=1C=2C=3C=4C=5xt=0流线=012345yt=2流线012345迹线xyt0123450t=1流线C=1C=2dtbtdyadxbtdtdyadtdx2212ctbycatx由t=0,x=0,y=0,确定积分常数，c1=0,c2=0。得再消去t，且过(0,0)点的迹线方程是一抛物线方程。221btyatx222xaby四、流管、流束、元流、总流、过流断面1、流管(streamtube)在流体中任意一微分面积dA(如图)，通过该面积的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。2、元流流束：流管内所有流线的集合。充满以流管为边界的一束流体，称为微元流束,即就是过流断面无限小的流束。注：(1)流束表面没有流体穿过；(2)在元流断面上，运动参数各点相同；(3)元流的极限是流线。流束3、总流任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流(totalflow)。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。4、过流断面(crosssection)与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过流断面。该面积dA或A称为过流面积，单位m2。注意：过流断面可为平面也可为曲面。判断：均匀流过流断面是一平面，渐变流过流断面近似平面。(对)五、流量与断面平均流速1、流量(discharge)单位时间内通过某一过流断面的流体体积(质量)称为流量。流量常用的单位为米３／秒（m3/s）、千克／秒（kg/s），符号Ｑ表示。通常所说的流量一般指体积流量，用qv表示。质量流量用qm表示。对于均质不可压缩流体，密度ρ为常数，则质量流量为：AmudAqAvudAqvmqq2、断面平均流速过流断面各点速度的断面平均值ν，是一个想象的流速，如果过流断面上各点的流速都相等并等于ν，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速ν就称为断面平均流速。AAAVvAdAvvdAudAq由此可见，通过过流断面的流量等于断面平均流速与过流断面面积的乘积，也即过流断面上各点均以同一平均流速运动。引入断面平均流速的概念，可以使流体运动的分析得到简化。六、均匀流与非均匀流、渐变流1、均匀流均匀流：当流体的流线为相互平行的直线时，该流体称为均匀流。均匀流具有以下特性：1)均匀流的过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变。2)均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。3)均匀流过流断面上的动压强分布规律与静压强分布规律相同，即在同一过流断面上各点测压管水头为一常数。0su2、非均匀流若流体的流线不是相互平行的直线该流体称为非均匀流按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型：1)渐变流当流体的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直线时称为渐变流(缓变流)(graduallyvariedflow)。渐变流的极限情况就是均匀流。2)急变流若流体的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这种流体称为急变流。注意：渐变流动压强服从静压强分布；而急变流动压强分布特性复杂。通常边界近于平行直线时，流体往往是渐变流。管道转弯、断面突扩或收缩，为急变流。思考题1.“只有当过流断面上各点的实际流速均相等时，水流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？2.恒定流、均匀流等各有什么特点？不对。均匀流是指运动要素沿程不发生改变，而不是针对一过流断面。恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化，恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化，均匀流时位变加速度等于0。0sA0tA§3-3流体运动的连续性方程一、连续性微分方程在流场中取一空间微分平行六面体如图所示。经一微小时段dt自x流入的流体质量为：自x流出的流体质量为dt时段内在x方向流进与流出六面体的流