固体物理倒格矢

1.9倒格子(倒易点阵reciprocal)*S0ABOPS1.91倒格子(倒易点阵)*的定义：1正格矢与倒矢点P：Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢a1，a2，a3构成的矢量，S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍射后光程差为：)(000S-SRSRS-ROBAlll原子可向空间任何方向散射X光线，只有一些固定方向可形成衍射。当X光为单色光，衍射加强的条件为：Rl•(S-S0)=u•λ令，代入上式，衍射加强条件变为：Rl•（k-k0）=2πu根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间中的位置矢量，令：有Rl•Gh=2πu(Rl和Gh不一定平行))(200SSk-kGh可见，Rl和Gh的量纲是互为倒逆的，Rl是格点P的位置矢量，称为正矢量，kh称为倒易矢量。若令Gh=h1b1+h2b2+h3b3，则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵.(b1，b2，b3)如何确定？1.9.2倒格子空间(倒易点阵)*（1）.倒矢与正格矢的关系：原胞体积，)(222321213132321aaaVVaabVaabVaab321aaa、、点阵：原胞基矢正点阵原胞基矢：a、a、a倒易点阵原胞基矢：b、b、b321321原胞体积)(222321213132321aaaVVaabVaabVaab构成的晶面族的面间距、是：构成的晶面的法线方向、的方向沿：32111321221aaddbaab（2）.倒格子点阵与正格子点阵的关系jijibaijji022(1)，，系：两个点阵基矢之间的关VaabVaabVaab213132321222。，，GRhhhbhbhbhGZlllalalalRhlhl点阵的位矢则另一个矢量必为倒易为正点阵位矢且其中一个矢量的整数倍若两矢量点积为结论＝则有、、倒格矢倒易点阵：、、正格矢正点阵：系：两个点阵格矢之间的关2：Z2：Z(2)321332211321332211为什么在倒易关系中存在2π因子，这是因为如此定义的互为倒易的两个矢量G与T之间满足下面简洁的恒等式：1TiGeCBABCACBAVV*VbbbV*)()()2()((3)3321上式利用了互为倒数与可见的关系：两个点阵原胞体积之间：2)(//(4)321321332211321证明如下＝法线方向则有：倒易点阵中倒格矢：）面指数为：（正点阵中一族晶面，晶之间的关系：倒格矢和正点阵晶面族hhhhhhdGhhhGbhbhbhGhhh(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵(6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性倒格矢和正点阵晶面族示意图返回CBCACBCAOCOBCBOCOACAhhhhGGGGhahahaha0033223311＝＝hhhhhhhGGhbhbhbhaGGhad2)(1332211111321＝3.倒易点阵与傅里叶变换112233)()()()()()(321332211321332211nnnnnnrGinnnrGinllnneCeCrΓrΓrΓrΓrΓZlllalalalRRrrRxxxaxaxaxrrΓ＝：作傅里叶级数展开，有将为周期函数则有、、，＝若有、、(示意图)nnrGinnrGinnnnnnnnnrGinnnrGinnnnneGrΓGrderΓVCZnnnbnbnbnGGeCeCrΓ)()()()(1)(321332211112233＝、、，为倒格矢，＝的傅里叶变换是)()(rΓGn的傅里叶逆变换是)()(nGrΓTdeFtfdtetfF-ti-ti2)(21)()()(傅里叶逆变换：傅里叶变换：总结：晶体点阵倒易点阵实际晶体结构虚构显微图像衍射图像微观粒子一族晶面线度量纲：L线度量纲：L－1位置空间坐标空间倒易空间傅里叶空间K空间iabiaa2111.9.3常见晶格的布里渊区(1)一维晶格(2)二维晶格321132321321332122aaaaabaaaaabkaaaa＝，令构造、jaaaaaabiaaaaaabjaaiaa222232113232132121离原点最近的倒格点有４个：b1，-b1，b2，-b2．b1-b1－b2b2离原点次近的倒格点有４个：b1＋b2，b1-b2，b2，-b2．b1＋b2b1-b2-b1＋b2－b1-b2离原点再远的倒格点有４个：２b1，-２b1，２b2，-２b2．２b1－２b1２b２－２b２二维正方晶格的布里渊区二维长方晶格的布里渊区二维六方晶格的十个布里渊区(3)三维晶格a.简立方晶格1b格倒易点阵仍为简立方晶kabjabiabkaajaaaia222321321倒易空间示意图2b3b1bb.体心立方晶格倒易空间示意图体心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞常数为。aπb)ji(aπb)ki(aπb)kj(aπb)kji(aa)kji(aa)kji(aa4222222321321a4c.面心立方晶格面心立方晶格的倒易晶格是体心立方，其晶胞常数为。abkjiabkjiabkjiabjiaakiaakjaa4)(2)(2)(2)(2)(2)(2321321a4示意图布里渊区示意图1倒易原胞VaV32体简约布里渊区：简立方离原点最近的倒格点有6个：±b1，±b2，±b３．b1-b1－b2b2－b３b３返回ABC布里渊区示意图2-1倒易离原点最近的有１２个倒格点体心立方的倒易点阵是面心立方——第一布里渊区原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的有十二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：])()()[(2321213132321knnjnninnannnKbbbn倒格矢　),,(2213132nnnnnna).1,1,0(2),1,1,0(2),1,1,0(2),1,1,0(2),1,0,1(2),1,0,1(2),1,0,1(2),1,0,1(2),0,1,1(2),0,1,1(2),0,1,1(2),0,1,1(2aaaaaaaaaaaa相应的倒格矢长度这十二个倒格矢的中垂面围成菱形十二面体：其体积正好等于倒格子原胞的体积大小．22),,(321aKnnn布里渊区示意图2-2返回倒易原胞面体简约布里渊区：正十二VaV32221,21,2121110,21,2121100,0,121000,0,0aPaNaH：：：：：：：坐标原点布里渊区示意图3-1面心立方的倒易点阵是体心立方倒易离原点最近的有８个倒格点布里渊区。因此正8面体不是第一是而第一布里渊区的体积，面体的体积是332282298)aπ()aπ(６个次邻格点——第一布里渊区——八个面是正六边形——六个面是正四边形布里渊区示意图3-2返回倒易原胞体简约布里渊区：十四面VaV32421,21,2120,43,4320,0,120,0,02aLaKaXaΓ：：：：面心立方晶格的第一布里渊区——第一布里渊区为十四面体——布里渊区中某些对称点和若干对称轴上的点能量较为容易计算，这些点的标记符号布里渊区原点六方面的中心四方面的中心计为轴——方向计为轴——方向——将零级近似下的波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像，图中定性画出了沿轴的结果3.总结布里渊区是由倒格矢中垂面围成的封闭区，其形状与晶体结构有关；每个布里渊区的体积都等于倒易原胞的体积，其中包含N个k点，可容纳2N个电子；简约布里渊区是未被分割的整块，它即是倒易点阵的维格纳－赛茨原胞；布里渊区边界上的k点对应的电子能量是不连续的，其能隙为2|Vn|。图5闪锌矿结构的本征GaN材料的能带结构图，导带最小和价带最大。作业1试证简单立方晶格的倒易点阵仍为简单立方晶格，体心立方和面心立方互为倒易点阵。分别计算其第一布里渊区的体积（假设其晶胞晶格常数为a）。。、X、K、Lnm点的坐标里渊区中计算面心立方的第一布图。子链简约布里渊区示意试绘出该单原，长度为设一维单原子链的原胞.的面积它们并计算第一和第二布里渊区，试画出该二维晶格的A为单位），的长度均以a、a（j4a，i2a基矢分别为有一二维晶格，其原胞22121.44.0.3