2018届高考数学(文)大一轮复习检测第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含答案

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系,[学生用书P151])1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交drΔ0相切d＝rΔ＝0相离drΔ02.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|dr1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d|r1－r2|(r1≠r2)无解1．辨明两个易误点(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则l22＝r2－d2.(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦长有关问题．1.教材习题改编直线l：x＋3y－4＝0与圆C：x2＋y2＝4的位置关系是()A．相交过圆心B．相交不过圆心C．相切D．相离C[解析]圆心坐标为(0，0)，圆心到直线l的距离d＝|－4|2＝2＝r，所以直线l与圆C相切．故选C.2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[解析]由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0D[解析]因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，所以kPQ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k＝33，所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.4.教材习题改编已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________．[解析]圆C1和圆C2的标准方程为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心分别为C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为3，2.当两圆外切时，（m＋1）2＋（m＋2）2＝5，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－55.教材习题改编直线l：3x＋y＋m＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为10，则m的值为________．[解析]圆C：x2＋y2－2y－4＝0化为x2＋(y－1)2＝5.圆心为(0，1)，半径r＝5.所以C(0，1)到l的距离d＝|3×0＋1＋m|32＋12＝|1＋m|10，所以截得的弦长为2r2－d2＝25－（1＋m）210＝10.解得m＝4或m＝－6.[答案]4或－6直线与圆的位置关系[学生用书P152][典例引领](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为()A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋∞)【解析】(1)法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋（y－1）2＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋200，所以直线l与圆相交．法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝|m|m2＋115，故直线l与圆相交．法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．(2)由x2＋y2－2x－2y＋1＝0得(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，所以|1＋m－2－m|1＋m21，即1＋m21，所以m≠0，即m∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．【答案】(1)A(2)D判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[通关练习]1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[解析]因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．2．(2017·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4C[解析]因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆与圆的位置关系[学生用书P153][典例引领]已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A．62B．32C．94D．23【解析】由圆C1与圆C2相外切，可得（a＋b）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本(均值)不等式可知ab≤a＋b22＝94，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.【答案】C(1)若把本例中的“外切”改为“内切”，结论如何？(2)若把本例中的“外切”改为“相交”，则两圆公共弦所在的直线方程是什么？[解](1)由C1与C2内切得（a＋b）2＋（－2＋2）2＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤a＋b22＝14，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为14.(2)由题意得，把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程．圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2＝0.①圆C2：x2＋y2＋2bx＋4y＋b2＋3＝0，②由②－①得(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0，即(2a＋2b)x＋3＋b2－a2＝0为所求公共弦所在直线方程．[通关练习]1．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条D[解析]圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，所以圆心C1(－1，－1)，半径长r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C2(2，1)，半径长r2＝1.所以d＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝13，r1＋r2＝3，所以d＞r1＋r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．2．(2017·郑州质检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．[解析]由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1⊥AO2，在直角三角形AO1O2中，(25)2＋(5)2＝m2，所以m＝±5，|AB|＝2×25×55＝4.[答案]4与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)[学生用书P153]与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)弦长问题；(2)切线问题；(3)由弦长及切线问题求参数．[典例引领](1)(2016·高考全国卷乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．(2)已知点P(2＋1，2－2)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.①求过点P的圆C的切线方程；②求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．【解】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝a2＋2，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为|－a＋2a|2＝|a|2，所以|a|22＋(3)2＝(a2＋2)2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.故填4π.(2)由题意得圆心C(1，2)，半径长r＝2.①因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．又kPC＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k＝－1kPC＝1.所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0.②因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝34.所以切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.因为|MC|＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程为x＝x0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程①几何法：当切线斜率存在时，设斜率为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可得出k的值，进而求出切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由判别式Δ＝0，求得k，切线方程即可求出．(3)圆的弦长的求法①几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2r2－d2.②代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝1＋k2·（xA＋xB）2－4xAxB＝1＋1k2|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|.当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．[题点通关]角度一弦长问题1．(2016·高考全国卷丙)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．[解析]设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝212－d2＝23，得d＝3，即||3m－3m2＋1＝3，解得m＝－33，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝|AB|cos30°＝4.[答案]4角度二切线问题2．(2017·重庆一模)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为()A．3B．212C．22D．2D[解析]圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0，