绝对值三角不等式的专题

高二数学组：刁良晨教学目标1.理解掌握绝对值三角不等式定理及其推论。2.能利用绝对值三角不等式的定理及其几何意义证明不等式、求最值。3.使学生掌握数形结合思想及函数思想在绝对值三角不等式中的应用。教学重点：能熟练应用绝对值三角不等式的定理证明不等式、求最值。教学难点：利用变换及转化思想，灵活应用绝对值三角不等式。教学重、难点1.如果a、b是实数，则-≤≤ababab”成立。时，“当且仅当||||,0baab”成立“时，当且仅当0ab推论1：1212≤nnaaaaaa推论2：如果是实数,那么|a-c|≤,当且仅当（a-b)(b-c)≥0时,等号成立、、abcabbc复习巩固绝对值三角不等式及其推论：-≤≤ababab2、如果是a、b是实数，则”成立。时，“当且仅当0ab”成立。时，“当且仅当||||,0,baab例1：求证（1）|x-a|+|x-b|≥|a-b|证明：法一：|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|b-a|=|a-b|法二：|x-a|+|x-b|=|a-x|+|x+b|≥|a-x+x+b|=|a-b|（2）|x-a|-|x-b|≤|a-b|证明：法一：|x-a|-|x-b|≤|x-a-(x-b)|=|b-a|=|a-b|法二：|x-a|-|x-b|=|a-x|-|x-b|≤|(a-x)+(x-b)|=|a-b|题型二：[思路点拨]原式――→变形重新分组――→定理转化为|A－a|＋|B－b|＋|C－c|―→得出结论[例2]已知|A－a|s3，|B－b|s3，|C－c|s3.求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|s.[证明]|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|.因为|A－a|s3，|B－b|s3，|C－c|s3，所以|A－a|＋|B－b|＋|C－c|s3＋s3＋s3＝s.题型一：利用绝对值三角不等式求最值例3：若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是_____最小值_____．51解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.例4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．解：方法一（利用绝对值三角不等式)∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的几何意义是数轴上x对应的点到-1的距离与到1的距离之和f(x)＝|x－1|＋|x＋1|=01-1方法二：利用几何意义方法三：构造分段函数2(1)2(11)2(1)xxxxx可知当-1≤x≤1时f(x)有最小值2yx112-1-12-20y=-2xy=2xy=2当-1≤x≤1时，f(x)有最小值2例5：如果关于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全体实数，求a的取值范围解：利用绝对值不等式求最值设f(x)=|x-a|+|x+4|≥|x-a-(x+4)|=|a+4|即f(x)的最小值是|a+4|∴|a+4|≥1解得a≤-5或a≥-3∴a的取值范围是{a|a≤-5或a≥-3}.题型二：利用绝对值不等式求解集1.利用绝对值三角不等式证明不等式的思路和方法；2.如何利用绝对值三角不等式求最值、求解集3.合理运用数、式的转化，使其符合绝对值三角不等式的形式课堂小结（2014年）设函数f(x)=|2x-1|-|x+4|（1）解不等式：f(x)0（2）若f(x)+3|x+4|≥|a-1|对一切实数均成立，求a的取值范围.解：（1）f(x)=)21(5)214(33)4(3xxxxxx当x-4时，由-x-30得x-3,故x-4.当-4≤x≤时，由-3-3x0得x≤-1,故-4≤x-1.21当x时，由x-50得x5,故x5.综上所述：{x|x-1或x5}21(2)f(x)+3|x-4|=|2x-1|-|x+4|+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|2x-1|+|2x+8|≥|2x-1-2x-8|=9∴由题意可知|a-1|≤9，解得-8≤x≤10故所求a的取值范围是{a|-8≤x≤10}作业：课本P195P208