21曲线参数方程的概念及圆的参数方程

TheHighSchoolAffiliatedtoHenanNormalUniversity2.1曲线参数方程的概念及圆的参数方程1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点1、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o0,y令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在指定位置txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s1、参数方程的概念：如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？(),().xftygt（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.3.在实际问题中要确定参数的取值范围1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。23,()21.xttyt为参数变式:练习11、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、21,(43xttyt为参数）25(,0);16(1,3);25(,0);16B已知曲线C的参数方程是点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.212,().xttyat为参数,aR解:(1)由题意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴a=1(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:x=1+2ty=t2由第一个方程得:12xt代入第二个方程得:21(),2xy2(1)4xy为所求.训练2：思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得tytx12251所以，点M的轨迹参数方程为tytx12251参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程2、圆的参数方程)()(sincos{sin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三＝，设＝，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMtyxMMt-555-5rM0M(x,y)cos{sinxryr(为参数)sincos11ryrx?,)()(),(:22221那么参数方程是什么呢为的圆的标准方程、半径为圆心为思考rbyaxrbaOv(a,b)oP(x,y)1),(111yxP(a,b)r11111(,),(,)(,),,OabrOrOPxyOPxy圆心为、半径为的圆可以看作由圆心为原点、半径为的圆平移得到设圆上任意一点是圆上的点平移得到的由平移公式有又所以sincosrbyraxbyyaxx11例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，(x+1)2+(y-3)2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)25232cos{()sinxy例、指出参数方程为参数所表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程。例3.如图,圆O的半径为2,P是圆上的动点,Q(6,0)是x轴上的定点,M是PQ的中点,当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ)(sin3cos{sin2sin2,3cos26cos2),sin2,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM3、已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为sin2cos3yx由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).13(其中tanψ=3/2)∴x2+y2的最大值为14+2，最小值为14-2。1313(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）24∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当sin（θ+）=1时,d取最大值,最小值，分别为，。4122221_____________4)0(sin2cos{1，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）练习:的最大值为则意一点上任为参数是曲线、22)4()5(,)(sincos2{),(2yxyxyxPA、36B、6C、26D、25（）A的交点。为参数求它与曲线为参数程为、若已知直线的参数方)(sin2cos2{)(11{3yxttytx4.已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点,求证：|MA|2+|MB|2+|MC|2为定值。