【阳光数学网】高考二轮专题析与练(理科)专题二：第3讲 导数的几何意义,函数的极值、最值

题型一导数的几何意义，求导方法已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为函数f(x)的导函数，求证：对任意x0，g(x)1＋e－2.【分析】可以利用导数几何意义求切线的斜率；求函数f(x)的单调区间要根据f′(x)0或f′(x)0求x的解集；不等式恒成立问题可以转化为最值问题．【解析】(1)f′(x)＝1x－lnx－kex，∵f′(1)＝1－ke＝0，∴k＝1.(2)由(1)，知f′(x)＝1x－lnx－1ex.设k(x)＝1x－lnx－1，则k′(x)＝－1x2－1x0，即函数k(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．由k(1)＝0，知当0x1时，k(x)0，从而f′(x)0；当x1时，k(x)0，从而f′(x)0.综上可知，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．(3)由(2)，可知当x≥1时，g(x)＝xf′(x)≤0＜1＋e－2.故只需证明关于x的不等式g(x)1＋e－2在0x1时成立．当0x1时，ex＞1且g(x)0，所以g(x)＝1－xlnx－xex1－xlnx－x.设F(x)＝1－xlnx－x(x∈(0,1))，则F′(x)＝－(lnx＋2)．当x∈(0，e－2)时，F′(x)0；当x∈(e－2,1)时，F′(x)0.所以当x＝e－2时，函数F(x)取得最大值F(e－2)＝1＋e－2.所以g(x)F(x)≤1＋e－2.综上，对任意x0，g(x)1＋e－2.导数的几何意义是切线的斜率；求函数f(x)的单调区间要根据f′(x)0或f′(x)0求x的解集；证明不等式恒成立问题可以转化为最值问题．不等式恒成立问题通常可以用分离参数法，把不等式转化为形如f(x)g(a)的不等式，并求某个函数的最值或取值范围．分离参数要特别注意不等式两边除以正数，不等号方向不变，若除以负数，不等号要改变方向，所以通常要分类讨论．题型二函数的极值、最值问题设函数f(x)＝x＋alnxx，其中a为常数．(1)求证：对任意a∈R，函数y＝f(x)的图象恒过定点；(2)当a＝－1时，函数y＝f(x)是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；(3)若对任意a∈(0，m]时，函数y＝f(x)恒为定义域上的增函数，求实数m的最大值．【分析】第(1)问可以令lnx＝0；第(2)问极值是否存在可以考虑导函数函数值的符号；第(3)问可以转化为不等式恒成立问题，再转化为最值问题．【解析】(1)令lnx＝0，得x＝1且f(1)＝1.所以函数y＝f(x)的图象过定点(1,1)．(2)当a＝－1时，f(x)＝x－lnxx，f′(x)＝1－1－lnxx2＝x2＋lnx－1x2.令g(x)＝x2＋lnx－1，经观察，得方程g(x)＝0有根x＝1.以下证明g(x)＝0无其他根．g′(x)＝2x＋1x，当x0时，g′(x)0，即函数y＝g(x)在区间(0，＋∞)上是单调递增函数．所以方程g(x)＝0有唯一根x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＝gxx20，函数f(x)在区间(0,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝gxx20，函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；所以x＝1是函数f(x)的唯一极小值点．极小值是f(1)＝1－ln11＝1.(3)f′(x)＝1＋a－alnxx2＝x2－alnx＋ax2，令h(x)＝x2－alnx＋a，由题设，对任意a∈(0，m]，有h(x)≥0(x∈(0，＋∞))．∵h′(x)＝2x2－ax＝2x－a2x＋a2x，当x∈0，a2时，h′(x)0，函数h(x)是减函数；当x∈a2，＋∞时，h′(x)0，函数h(x)是增函数．所以当x＝a2时，函数h(x)有极小值，也是最小值ha2＝32－lna2a.由h(x)≥0，得32－lna2a≥0，即a≤2e3，即实数m的最大值为2e3.求函数y＝f(x)的极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．注意：可导函数在极值点处的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．求函数y＝fx在区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：1求函数y＝fx在区间a，b内的极值；2将函数y＝fx的各极值与端点处的函数值fa，fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.