布朗尼烤盘问题研究

1、总体假设1形状是矩形的烤箱宽长比为W/L；2.每个烤烤盘（盘）的面积为A；3.每个烤箱最初只大值为(N)；4.烤烤盘（盘）的平均分布热量最大值为(H)；5.优化组合条件1和条件2，使得权重p和(1-p)能够描述随着W/L和p值的改变，最佳的烤烤盘形状和热量分布情况是如何改变的。2、符号说明n--表示多边形的边数;--表示多边形的角度，其中n,,21表示多边形的内角；Q--表示单位体积的热量；q--表示热传导速率；T--表示烤盘上的温度；d--表示边缘上极小的距离；k--表示热传导系数P--表示权重数S--表示烤盘的上下表面LW--表示烤箱的长宽比f--表示烤盘上某一点的温度值3、模型一3.1模型假设A、烤盘面积224mAB、烤盘材料为铁。密度3310867-mkg.ρ，比热容KkgJC460，导热率KmWk46,2200mWg(x,y,t)。C、开始烘烤时，烤箱内温度处处为室温且室温Cu200。D、所有形状烤盘均为正多边形。E、忽略蛋糕厚度，则所建立的模型为二维热传导模型。F、加热温度恒定为C200G、烤盘边沿温度在达到C200后，整个烤盘处于热平衡状态。3.2模型建立由傅里叶热传导定律可知，在dt时段内,通过面积元ds流入体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率nu成正比，也与ds和dt之积成正比。即：dsdtnukdQ（3-1）其中)coscoscos()(zyxuuununu（3-2）由（3-1）积分可得，通过曲面进入导热体的总热量为:dtdsnukQttS21][1温度升高所需热量：dxdydz)t)-u(x,y,z,u(x,y,z,tcρQV][122根据能量守恒：21QQ则可得三维热传导方程如下：zzyyxxtuuuau2因为问题中忽略蛋糕厚度对温度分布的影响，则可将三维热传导方程简化为二维热传导方程。即：][2yyxxtuuau初值条件：0)0,,(uyxu边界条件：由于我们假设热流是从烤盘的上下面传递，四周绝缘，所以使用第二类边界条件。即：),,(g),(tyxnuAyx最终建立二维热传导模型：（3-5）（3-3）（3-4）（3-6）（3-7）（3-8）ckatyxgtuuyxuuuatuyyxx202),,()0,,()(Ayx),(根据上述所选取的正多边形和圆形，我们在每个多边形顶点到图形中心的连线（圆形的半径）上均匀选取10个点，10个点的坐标分别为),,(iiyx)103,2,1(i运用数学软件输出10个点的温度值，然后计算出这10个温度值的标准偏差，并以此数据作为衡量烤盘上热量均衡分布的依据。建立烤盘热量均衡度评价模型如下：10)(1012iiffV)103,2,1(i其中：if为10个点的温度值。f为10个点温度值的平均值。3.3模型求解首先我们运用MATLAB软件中的PDE工具箱绘制出不同形状烤盘在达到热平衡状态时的温度分布图。图示3.1正方形烤盘的温度分布（3-9）（3-10）图示3.2正五边形烤盘的温度分布图示3.3正六边形烤盘的温度分布图示3.4正八边形烤盘的温度分布当正多边形的边数无限增多至一定数目时，我们可以将此多边形近似看做为圆形。图示3.5圆形烤盘的温度分布由上述图示我们可以清晰地看出，无论什么形状的烤盘边缘的温度都高于中心的温度。进一步讲，在烤盘达到热量平衡的时，烤盘边缘达到烤箱加热温度C200，距离烤盘中心点距离越近的地方温度越低。接下来我们根据烤盘热量均衡度评价模型（3-10）对不同形状烤盘热量的均衡程度进行评价，并得到如下表格。从上述方程式（3-10）我们很容易可以看出：当V的值越小时，烤盘的热量平均分布值就越大。综合以上所得数据，正五边形烤盘的受热最为均匀。3.5模型改进通过仔细研究上述所建立的模型以及得到的结论，我们发现从矩形到圆形的过渡过程并不是只有增加边的条数这一种方法，而增加矩形圆角的曲率也不失为一种不错的方法。我们运用MATLAB工具箱得到以下图形的温度分布和温度分布梯度。图示3.6矩形烤盘的温度分布及温度分布梯度图示3.7圆角矩形（一）烤盘的温度分布及温度分布梯度图示3.6圆角矩形（二）烤盘的温度分布及温度分布梯度根据以上所给出的三组分布图，我们可以得出当矩形的圆角角度增大时温度分布越均匀。4、模型二4.1模型假设A、为简化题目，方便模型建立，在已有的总体假设的基础上，我们将烤箱托盘的尺寸进行规定，即烤箱托盘的长cmL60，宽为cmW40，则长宽比固定为32LW。B、烤盘的面积224cmAC、现实生活中一个托盘上存在不同烤盘形状的情况极其少见，所以我们在此规定每个托盘上只排放一种形状的烤盘，且烤盘排列的方向一致。D、假设不同形状的烤盘均在一个面积最小的矩形框内，示意图如下所再将这些矩形框在托盘上进行排列。4.2模型建立首先，我们把围成不同烤盘的外部矩形的长记作w，宽记作l，这样我们就有两种不同的排列方式。方式一：矩形框的长排放在托盘长的方向上，矩形框的宽排放在托盘宽的方向上，示意图如下。则lLm1wWn1方式二：矩形框的长排放在托盘宽的方向上，矩形框的宽排放在托盘长的方向上，示意图如下所示。则wLm2lWn2其中，nm,分别表示每一行和每一行能排列的最大数。然后我们把托盘上内能够放置的烤盘的最大数记为N，建立最优排列模型为：2211,maxnmnmN4.3模型求解首先我们以圆角矩形为例进行计算。当圆角矩形的面积为224cm时。因此，我们知道的矩形框的宽度是cm018.4，矩形框的长度是cm027.6。将这些数据代入上面的式子，我们可以得到：9027.6601m，9018.4401n14018.4602m，6018.6402n这两种排列方式如下图1所示：图1类似于圆角矩形，我们得到的结果如表3，表3显示了不同形状烤盘的摆设结果烤箱的宽比长(LW)烤盘的形状可放置最大数量N32LW长方形100六边形方案一84712方案二8441011圆角矩形方案一8199方案二84614椭圆形方案一6488方案二65513八边形77711圆形707104.4模型优化根据假设我们可以知道，当LW一定时，权重p和p1不同的分配会有不同的结果。在模型一中，我们已经用MATLAB工具箱绘制出计不同形状的烤盘在热量平衡时刻温度分布情况。在此基础上，再结合模型二所建立的最大放置数量的模型，我们设置放入烤箱内烤盘的数量的权重系数为p和烤盘的受热均匀的的权重系数为p1，寻找在不同权重系数的情况下，烤箱内能放入烤盘的数量与烤盘受热均匀度同时达到最优时的解。模型一中，由式（3-10）我们知道，烤盘不同位置温度的相对标准偏差越小，表示该型烤盘热量分布均匀度越好。而在模型二中，我们可以看到，在烤箱面积一定时，N值越大，表明烤箱所能容纳的烤盘数量越多，也就是说烤箱面积能够得到更好的利用。他们之间不能够直接进行比较，为了能够更好地比较在什么情况下达到最优，我们必须对模型一和模型二的结果进行标准化和规范化。由上述分析可知，我们要求解的是目标函数的最大值。模型二的结果越大目标函数结果越大，而模型一的结果越小则目标函数越大。所以我们把模型一的结果表示为63,2,1,iSDi然后选择最大的一个数记作maxSD，我们有cuavSDSD，然后我们使用变换公式SDSDSDmax将模型一中的结果转变为求最大值。在模型一中的原始数据是从5.89384到12.74367的标准偏差，而在模型二中则是从60到100的烤盘数量，所以当结合模型一和模型二中结果时，模型二的结果严重影响模型一的效果达到目标值。所以我们需要对模型一和模型二的结果进行处理，使其在同一个范围内。最后，我们使用极端值的差分方法，使得到的结果在0到1之间。在我们的问题中，我们有两个评价指标N和SD，每一个指标都有六个对应的值。以N为例子，6,,2,1,iNi表示六种不同的烤盘在烤箱内能够放置的数量。其中，令6,,2,1,min6,,2,1,maxminmaxiNNiNNii，iN表示标准化后的值，minmaxminNNNNNii我们利用相同的方法来计算出SD的值，为了方便，我们将数据集中在一个表格中，这两个指标处理后的数据如下表所示：烤盘的形状SDN矩形01六边形0.6608913990.6圆角矩形0.7155812970.6椭圆形0.7275922030.125八边形0.9413405610圆形10.25当LW等于32时，权重p与烤盘的形状之间的关系，目标函数是：6,3,2,1)1(iDSpNpfii其中1,0p。首先，我们设置为烤箱长度比宽度是恒定的，并改变权重p的值，从0到1，间隔0.01。对每个不同的p值来说，我们需要从六个形状得到最大的目标函数值。然后我们得到相应的烤盘形的最大目标函数值，那么这种烤盘就是最好形状的烤盘。其结果如下表所示：烤箱的宽比长为LW权重p的范围最好形状的烤盘32LW44.0,0p圆形64.0,45.0p圆角矩形1,65.0p矩形在以上的讨论中，我们令烤箱的宽长比LW为一个定值，接下来我们令权重p的范围值确定，再来计算当LW等于143322131，，，，时的目标函数值。然后选择最优LW下的最优解。由上表所示，我们可以看到，在权重p在0到0.44之间，烤盘的最佳形状为圆形。如果我们令权重p取0到0.44的平均值22.0244.00p，此时烤盘的最佳形状为圆形，接下来，我们计算了热烤盘均匀的分布和数量当LW等于143322131，，，，时。最后，我们计算目标函数值。如表4所示：LW312132431f0.85050.58920.90.70570表4此时最好的LW为32。此时我们令权重p取0.45与0.64的平均值545.0264.045.0p，此时最好的烤盘的形状是圆角矩形，计算结果见表5LW312132431f10.56820.35800.87660.4671此时最好的LW为31如果我们令825.02165.0p，此时最好的形状是矩形，计算结果见表6LW312132431f0.770900.97780.31250.5707此时最好的LW为32。综上所述，我们优化后的结果见表7p烤盘的形状LW0.22圆形2/30.545圆角矩形1/30.825矩形2/3