高中数学完整讲义――幂函数、零点与函数的应用3.函数的零点

高中数学讲义1思维的发掘能力的飞跃题型一：正比例、反比例和一次函数型【例1】某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是元.【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】1200【例2】某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是.【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】100%9【例3】某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增加数（万公顷）0.20000.40000.60010.79991.0001【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数ykxb的图象。将x=1，y=0.2与x=2，y=0.4，代入y=kx+b，求得k=0.2，b=0，典例分析板块三.函数的零点高中数学讲义2思维的发掘能力的飞跃所以y=0.2x（x∈N）。因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为95+0.5×15=98（万公顷）。（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得95+0.2x－0.6(x－5)=90，解得x=20（年）。故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。【答案】（1）98（万公顷）（2）2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷【例4】已知函数fx在R上有定义，对任何实数0a和任何实数x，都有faxafx（Ⅰ）证明00f；（Ⅱ）证明,0,0kxxfxhxx其中k和h均为常数；【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】2006年，安徽理，高考【解析】（Ⅰ）令0x，则00faf，∵0a，∴00f。（Ⅱ）①令xa，∵0a，∴0x，则2fxxfx。假设0x时，()fxkx()kR，则22fxkx，而2xfxxkxkx，∴2fxxfx，即()fxkx成立。②令xa，∵0a，∴0x，2fxxfx假设0x时，()fxhx()hR，则22fxhx，而2xfxxhxhx，∴2fxxfx，即()fxhx成立。∴,0,0kxxfxhxx成立。点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味的向函数求值方面靠拢。【答案】（Ⅰ）令0x，则00faf，∵0a，∴00f。（Ⅱ）①令xa，∵0a，∴0x，则2fxxfx。假设0x时，()fxkx()kR，则22fxkx，而2xfxxkxkx，∴2fxxfx，即()fxkx成立。②令xa，∵0a，∴0x，2fxxfx假设0x时，()fxhx()hR，则22fxhx，而2xfxxhxhx，∴2fxxfx，即()fxhx成立。∴,0,0kxxfxhxx成立。【例5】某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，高中数学讲义3思维的发掘能力的飞跃卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250，400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为200.3100.3250100.05250300.20.5625yxxxx，x∈[250，400]．因函数y在[250，400]上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.【答案】当x=400时，y有最大值825元【例6】某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电荷量为akW·h，本年度计划将电价降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%(注：受益＝实际用电量×(实际电价－成本价))？【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】(1)∵0.550.75x≤≤，∴下调电价后新增的用电荷量为0.4kx∴本年度用电荷量为0.4kax∵受益＝实际用电量×(实际电价－成本价)，∴()(0.3)0.4kyaxx(2)0.2ka，∴0.2()(0.3)()(0.3)0.40.4kayaxaxxx上年受益＝(0.80.3)a，∴0.2()(0.3)(0.80.3)(120%)0.4ayaxax解得0.6x[0.55,0.75]即最低电价应定为0.6元/kWh.答：关系式为()(0.3)0.4kyaxx，最低电价为0.6元/kWh.【答案】（1）()(0.3)0.4kyaxx，（2）最低电价为0.6元/kWh.【例7】我国从1990年至2000年间，国内生产总值（GDP）（单位：亿元）如下表所示：年份19901991199219931994199519961997199819992000生产总值18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.889404高中数学讲义4思维的发掘能力的飞跃0100002000030000400005000060000700008000090000100000199019921994199619982000生产总值根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利用所建立的函数模型，预测2010年我国的国内生产总值.【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】由表中数据作出散点图，如右图所示.根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近.选择1990年、2000年的数据代入yaxb，得18598.41990894042000abab，解得7080.56-14071716ab.所以，近似的函数模型为7080.5614071716yx.当x=2010时，y=160209.6，即预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元.点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象的特征，选用适合的函数模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式，再通过所得到的函数模型解决相应的问题.本题由两点近似求得直线，如果由以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况.【答案】预测2010年我国的国内生产总值为160209.6亿元题型二：二次函数型【例8】一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。（A）4（B）5（C）6（D）7x年468…cbxaxy2（万元）7117…【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】表中已给出了二次函数模型cbxaxy2，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则高中数学讲义5思维的发掘能力的飞跃.887,6611,447222cbacbacba。解得a=－1，b=12，c=-25，即25122xxy。又2512yxxx2512xx10122≤而取“=”的条件为25xx，即x=5，故选（B）。点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。【答案】B【例9】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？刹车时车速v/km/h153040506080刹车距离s/m1.237.3012.218.4025.8044.40【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。假设变量v与s之间有如下关系式：cbvavs2，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是vvs0563.00062.02。（代入其他数据有偏差是许可的）将s=15.13代入得vv0563.00062.013.152，解得v≈45.07。所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。【答案】汽车在刹车时的速度是45.07km/h高中数学讲义6思维的发掘能力的飞跃【例10】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【考点】二次函数型【难度】3星【题型】解答【关键词】2003年，北京，高考春【解析】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：3600300050=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－300050x）（x－150）－300050x×50，整理得：f（x）=－250x+162x－21000=－150（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转化为数学问题并加以解决。【答案】（1）租出了88辆，（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元【例11】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1