《1.2.3 导数的运算法则及复合函数的导数》课件 2013高考)

课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习第4课时导数的运算法则及复合函数的导数课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【课标要求】1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．【核心扫描】1．对导数四则运算法则的考查．(重点)2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习自学导引1．导数运算法则法则语言叙述[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f′(x)·g(x)＋两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方f(x)·g′(x)[f(x)·g(x)]′＝课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2.复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作.复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于.x的函数y＝f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？提示在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习名师点睛1．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f′n(x)．②[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)；③当f(x)＝1时，有1gx′＝－g′xg2x.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及fxgx′＝f′xg′x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2．复合函数求导对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量．(2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin2x)′＝2cos2x，而(sin2x)′≠cos2x.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型一利用导数的运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝x＋3x2＋3；(4)y＝xsinx－2cosx；(5)y＝x5＋x7＋x9x；(6)y＝x－sinx2cosx2.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y＝sin2x＋π3的导数，设y＝sinu，u＝2x＋π3，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cosu＝2cos2x＋π3.(4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[思路探索]可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求解．解(1)y′＝(x·tanx)′＝xsinxcosx′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′x2＋32＝－x2－6x＋3x2＋32.(4)y′＝(xsinx)′－2cosx′＝sinx＋xcosx－2sinxcos2x.(5)∵y＝x5＋x7＋x9x＝x2＋x3＋x4，∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(6)先使用三角公式进行化简，得y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式1】求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；(4)y＝lgx－1x2.解(1)y′＝－12x2；(2)y′＝(3x2＋xcosx)′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝exx＋ex·lnx；(4)y′＝1xln10＋2x3.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型二求复合函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝11－2x2；(2)y＝e2x＋1；(3)y＝(x－2)2；(4)y＝5log2(2x＋1)．[思路探索]可分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的求导法则求解．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)y＝eu，u＝2x＋1，∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(3)法一∵y＝(x－2)2＝x－4x＋4，∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×＝1－2x.法二令u＝x－2，则y′x＝y′u·u′x＝2(x－2)·(x－2)′＝2(x－2)12·1x－0＝1－2x.(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝10uln2＝102x＋1ln2.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式2】求下列函数的导数：(1)y＝ln(x＋2)；(2)y＝sin4x4＋cos4x4；(3)y＝1＋x1－x＋1－x1＋x.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习解(1)y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(x＋2)′＝1u·1＝1x＋2.(2)∵y＝sin4x4＋cos4x4＝sin2x4＋cos2x42－2sin2x4cos2x4＝1－12sin2x2＝1－12·1－cosx2＝34＋14cosx，∴y′＝－14sinx.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(3)∵y＝1＋x1－x＋1－x1＋x＝1＋x21－x＋1－x21－x＝2＋2x1－x＝41－x－2，∴y′＝41－x－2′＝－41－x′1－x2＝41－x2.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型三求导法则的应用【例3】求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[规范解答]设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－2(2分)故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)①(3分)∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0②(4分)又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．(6分)解得x0＝1或x0＝－12.(8分)故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)．(10分)即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.(12分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【题后反思】点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式3】若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1)处的切线方程，结果会怎样？解∵点A(1，－1)在曲线上，点A是切点，∴在A处的切线方程为x－y－2＝0.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习方法技巧数形结合思想在导数中的应用数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【示例】讨论关于x的方程lnx＝kx解的个数．[思路分析]通过求导的方法求出曲线y＝lnx与直线y＝kx相切时k的值，借助图形回答问题．解如图，方程lnx＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝lnx交点的个数．设直线y＝kx与y＝lnx切于P(x0，lnx0)，则kx0＝lnx0.∵(lnx)′＝1x，课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习∴k＝1x0，kx0＝1＝lnx0.∴x0＝e，k＝1e.结合图象知：当k≤0或k＝1e时，方程lnx＝kx有一解．当0k1e时，方程lnx＝kx有两解．当k1e时，方程lnx＝kx无解．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习方法点评函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁．