(完整版)网络教育《近世代数》作业及答案

第1页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算：一个集合BA到集合D的映射叫做一个BA到D的代数运算。2．群的第一定义：一个非空集合G对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G对乘法运算封闭；2）结合律成立：)()(bcabca对G中任意三个元cba,,都成立。3）对于G的任意两个元ba,来说，方程bax和bya都在G中有解。3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。4．满射：若在集合A到集合A的映射下，A的每一个元至少是A中的某一个元的象，则称为A到A的满射。5．群的第二定义：设G为非空集合，G有代数运算叫乘法，若：（1）G对乘法封闭；（2）结合律成立；（3）单位元存在；（4）G中任一元在G中都有逆元，则称G对乘法作成群。6．理想：环R的一个非空子集N叫做一个理想子环，简称理想，假若：（1）NbaNba,（2）NarNraNrNa,,7．单射：一个集合A到A的映射，aa:，AaAa,，叫做一个A到A的单射。若：baba。8．换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。9．环：一个环R若满足：（1）R至少包含一个不等于零的元。（2）R有单位元。（3）R的每一个非零元有一个逆元，则称R为除环。10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。11．群的指数：一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H在G里的指数。12．环的单位元：设R是一个环，Re，若对任意的Ra，都有aaeea，则称e是R的单位元。二．判断题1．是集合nAAA21列集合D的映射，则),2,1(niAi不能相同。(×)2．在环R到环R的同态满射下，则R的一个子环S的象S不一定是R的一个子环。(×)3．设N为正整数集，并定义abbaba),(Nba，那么N对所给运算能作成一个群。(√)4．假如一个集合A的代数运算适合交换率，那么在naaaa321里)(Aai，元的次序可以交换。(×)5．在环R到R的同态满射下，R得一个理想N的逆象N一定是R的理想。(√)6．环R的非空子集S作成子环的充要条件是：1）若,,Sba则Sba；2）,,Sba，则Sab。(√)第2页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！7．若是A与A间的一一映射，则1是A与A间的一一映射。(√)8．若是整环I的一个元，且有逆元，则称是整环I的一个单位。(√)9．设与分别为集合A到B和B到C的映射，如果，都是单射，则是A到C的映射。(√)10．若对于代数运算,，A与A同态，那么若A的代数运算适合结合律，则A的代数运算也适合结合律。(√)11．整环中一个不等于零的元a，有真因子的冲要条件是bca。(×)12．设F是任意一个域，F是F的全体非零元素作成的裙，那么F的任何有限子群G必为循环群。(√)13.集合A的一个分类决定A的一个等价关系。(√)14.设1H,2H均为群G的子群，则21HH也为G的子群。(×)15.群G的不变子群N的不变子群M未必是G的不变子群。(√)三．证明题1．设G是整数环Z上行列式等于1或-1的全体n阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G作成一个群。证：G显然非空，又任取A，BG，则1,1BA，于是AB是整数方阵，且1BAAB，故GAB，即G对乘法封闭。结合律显然成立，且E是G单位元。又设GA，由于A是整数方阵，故A的伴随矩阵A也是整数方阵；又,1A故AAAA11，即1A也是整数方阵，即G中每一个元在G中都有逆元，从而证得G作成一个群。2．设G=（a）是循环群，证明：当a时，G=（a）与整数加群同构。证：设a，则当nm时，nmaa，于是映射：mam就是G=（a）到整数加群Z的一个一一映射。又nmaaanmnm，故是G到Z的同构映射。即G=（a）与整数加群Z同构。第3页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！3．证明：高斯整环ZbabiaiZ,|中的单位有且只有1，i。证：i,1显然是Z[i]的单位，设x=a+bi是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di][iZ使xy=(a+bi)(c+di)=1而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i既有：ac-bd=1,ad+bc=0(1)从而aabdca2又ad=–bc代入前式有：（acba)(22，即)(22ba|a若a=0,则由（1）有bd=–1,只有b=1,即ix。若0a，则由)(22ba|a得b=0,a=1,即x=1,因此证得：Z[i]的单位元只有i,1。4．设G是由以下四个二阶方阵作成的集合1001,1001,1001,1001dcba证明：G对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。证：由题设可列乘法表：abcdaabcdbbadcccdabddcba由此表可知：方阵普通乘法是G的代表运算，a是G的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G中都有逆元，结合率显然成立。故G对方阵普通乘法作成一个交换群。5.证明：在群G中只有单位元满足方程xx2。证：设e是群G的单位元，则e显然满足方程另外设,Ga且aa2，则有aaaa121即a=e,即只有e满足方程xx2。6．证明：在整环Z[i]中5有唯一分解，并给出5的一种分解。证：因为5212i为素数，则i21（以及iii2,2,21）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：)21)(21(5ii若设inaaaa(521不可约）则2222125naaa且25,122iiaa，这只有2n，且52ia不妨设5=ab且522ba则只能ba，即5=aa，即5有唯一分解。第4页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！7．令G=bae,,，且G有如下乘法：eabeeabaabebbea证明：G对此乘法作成一个群。证：由乘法表可知，G对所给乘法封闭，e是单位元，又ee1，ba1，ab1，即每个元素在G中都有逆元，因此要证G是一个群，只要再证结合律成立即可。任取Gyx,，则显然有：)()()(yexxyeyxxye)()(xxxxxx其次令},{,bayx，且yx，则由乘法表知：eyxxyxyyyxx,,，可知结合律成立。8．设R是一个环，证明：1）若R中左右单位元同时存在，则必相等。2）若R中至少有两个左（或右）单位元，则R中任一非零元都是右（或左）零因子。证：1）设21,ee分别是环R的左右单位元，则由此有：1e22ee，1e2e=1e，从而1e=2e，即它是R的单位元。2）设1e，2e是R的两个互异的左单位元，则对任意的0,aRa，有aeaae21或（1e-2e）a=0，但1e-2e0，故a是R的一个右零因子。同理，若R有至少两个右单位元，则R的每一个非零元都是R的左零因子。9．设M（R）是实数域R上的二阶方阵环，又F=Rbabbba,，证明：F是M（R）的一个子域。证：任取A，BF，且令abbaA，cddcB，显然FBA，又当0B时，实数c,d不全为零，于是022dcB，且FbdacbcadadbcbdacAB1，故F是M（R）的一个子域。第5页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！10．设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算bauba1作成一个群。证：显然所给运算是G的一个代数运算，又任取,,,Gcba则cubaucbaucba111)()()()()()(111cbuaucbuacba而G是群。)()(1111cbuaucubau即)()(cbacba即G对新代数运算结合律成立。又任取Ga，aauuua1，即u是右单位元。又uuuaauuuaa)()(111，即uua1是a的右逆元。由群的定义知，G对新运算也作成一个群。11．设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环，)(RMn是R上n阶方阵环，)(,RMBAn，证明：EBAEAB，其中E是n阶单位矩阵。证：设EAB，由于R可交换，得：1ABBAAB，从而A可逆，设A是A的伴随矩阵，则由R有单位元1可知：EAAAAA于是AAA11故若：EAB，则：AABAEAAABAA11，即EBA同理可由EABEBA，证毕。12．设A和B是环R的理想，证明：当A和B至少有一个含有单位元时，},|{BbAaabBA是R的理想。证：不妨设A含有单位元e，任取Aaa21,，RrBbb,,21，由题设A，B都是R的理想，得:Bbaba2211BAbabaebaebaebeabeababa)()()()()(221122112211221113.设3S是三次对称群，)}12(),1{(H是3S的子群。1.把3S的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。2．求出3S关于H的所有左陪集和右陪集；3．写出3S的所有子群与正规子群。证：1、)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3S;---2．左陪集：)}12(),1{(H；)}132(),13{()13(H；)}123(),23{()23(H--右陪集：)}12(),1{(H；)}123(),13{()13(H；)}132(),23{()23(H---3．子群：)}12(),1{()},1{(21HH36543)},132(),123(),1{()},23(),1{()}},13(),1{(SHHHH六个子群；---)},1{(1H365)},132(),123(),1{(SHH三个正规子群；14.设5,S，其中)45)(123(，2314554321。1.求的周期;第6页共11页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！2.将1表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。证：1．6;3．)12)(13)(12)(15)(14()23)(154(1.—15.假定～是群G的元间的一个等价关系，并且对于G的任意三个元yxa,,来说，有ax～xay～y。证明：与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。证：设H=[e],由于～是等价关系，故e～e,即He----Hba,,则a～e,b～e因而ae～1a,be～b1b,由题设可得e～1a,e～1b,---10分;由对称性及传递性得1b～1a,aa11b～1ae,再由题设得a1b～e即a1bH,那么与G的单位元e等价的元所作成的集合G的一个子群----16.假定][xR是整数环R上的一元多项式环。1.写出][xR的理想),2(x所含元素形式.2.证明:),2(x不是][xR主理想.3.证明:若R是有理数域,那么),2(x是][xR的一个主理想.证：1、),2(x刚好包含所有多项式:)0,(,210nRaxaxaainn.-2、假定),2(x是主理想,即))((),2(xpx那么)),((2xp))((xpx,因而)()(),()(2xpxhxxpxq但由)()(2xpxq,可得Raxp)(,即1