高等数学_同济第六版_上册课后习题全解

习题111.设A(,5)(5,),B[10,3),写出AB,AB,A\B及A\(A\B)的表达式.解AB(,3)(5,),AB[10,5),A\B(,10)(5,),A\(A\B)[10,5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AB)CACBC.证明因为x(AB)CxABxA或xBxAC或xBCxACBC,所以(AB)CACBC.3.设映射f:XY,AX,BX.证明(1)f(AB)f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).证明因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA或xB)yf(A)或yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).(2)因为yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB)yf(A)且yf(B)yf(A)f(B),所以f(AB)f(A)f(B).4.设映射f:XY,若存在一个映射g:YX,使gofIX,fogIY,其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IXxx;对于每一个yY,有IYyy.证明:f是双射,且g是f的逆映射:gf1.证明因为对于任意的yY,有xg(y)X,且f(x)f[g(y)]Iyyy,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f(x1)f(x2),否则若f(x1)f(x2)g[f(x1)]gf(x2)]x1x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:YX,因为对每个yY,有g(y)xX,且满足f(x)f[g(y)]Iyyy,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:XY,AX.证明:(1)f1(f(A))A;(2)当f是单射时,有f1(f(A))A.证明(1)因为xAf(x)yf(A)f1(y)xf1(f(A)),所以f1(f(A))A.(2)由(1)知f1(f(A))A.另一方面,对于任意的xf1(f(A))存在yf(A),使f1(y)xf(x)y.因为yf(A)且f是单射,所以xA.这就证明了f1(f(A))A.因此f1(f(A))A.6.求下列函数的自然定义域(1)y3x2;解由3x20得x2.函数的定义域为[2,).(2)y331;1x2解由1x20得x1.函数的定义域为)(11)(1).(3)y1x1x2;解由x0且1x20得函数的定义域D[1,0)(0,1].(4)y1;4x2解由4x20得|x|2函数的定义域为(22).(5)ysinx;解由x0得函数的定义D[0).(6)ytan(x1);解由x12(k0,1,2,)得函数的定义域为xk1(k0,1,2,).2(7)yarcsin(x3);解由|x3|1得函数的定义域D[24].(8)y3xarctan1;x解由3x0且x0得函数的定义域D(0)(03).(9)yln(x1);解由x10得函数的定义域D(1).1(10)yex.解由x0得函数的定义域D(0)(0).7.下列各题中函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lgx2,g(x)2lgx;(2)f(x)x,g(x)x2(3)f(x)3x4x3,g(x)x3x1.(4)f(x)1,g(x)sec2xtan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同x0时g(x)x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.|sinx|8.设(x)|x|3求(),(),(),(2),并作出函数y(x)的图形.0|x|3644解()|sin|1()|sin|2()|sin()|2(2)0.6624424429.试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)yx1x,(,1);(2)yxlnx,(0,).证明(1)对于任意的x1,x2(,1),有1x10,1x20.因为当x1x2时,y1y2x11x1x21x2x1x20,(1x1)(1x2)所以函数yx1x在区间(,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1,x2(0,),当x1x2时,有y1y2(x1lnx1)(x2lnx2)(x1x2x)ln10,x2所以函数yxlnx在区间(0,)内是单调增加的.10.设f(x)为定义在(l,l)内的奇函数若f(x)在(0,l)内单调增加证明f(x)在(l,0)内也单调增加.证明对于x1x2(l,0)且x1x2有x1x2(0,l)且x1x2.因为f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数所以f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)这就证明了对于x1x2(l,0)有f(x1)f(x2)所以f(x)在(l,0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l,l)上的证明a(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)f(x)g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)f(x)g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)][g(x)]f(x)g(x)F(x)所以F(x)为偶函数即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数而g(x)是奇函数则F(x)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)g(x)F(x)所以F(x)为奇函数即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数哪些是奇函数哪些既非奇函数又非偶函数？(1)yx2(1x2);(2)y3x2x3;(3)y1x2;1x2(4)yx(x1)(x1)(5)ysinxcosx1;(6)yaxax.2解(1)因为f(x)(x)2[1(x)2]x2(1x2)f(x)所以f(x)是偶函数.(2)由f(x)3(x)2(x)33x2x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为f(x)1(x)21x2f(x)所以f(x)是偶函数.1x21x2(4)因为f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x)所以f(x)是奇函数.(5)由f(x)sin(x)cos(x)1sinxcosx1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为f(x)a(x)a(x)2xax2f(x)所以f(x)是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期(1)ycos(x2);(2)ycos4x;(3)y1sinx(4)yxcosx;(5)ysin2x.解(1)是周期函数周期为l2.(2)是周期函数周期为l.2(3)是周期函数周期为l2.(4)不是周期函数.(5)是周期函数周期为l.14.求下列函数的反函数(1)y3x1(2)y1x1x(3)yaxb(adbc0);cxd(4)y2sin3x;(5)y1ln(x2);x(6)y2.2x1解(1)由y3x1得xy31所以y3x1的反函数为yx31.(2)由y1x得x1y所以y1x的反函数为y1x.1x1y1x1x(3)由yaxb得xdyb所以yaxb的反函数为ydxb.cxdcyacxdcxa(4)由y2sin3x得x1arcsiny所以y2sin3x的反函数为y1arcsinx.3232(5)由y1ln(x2)得xey12所以y1ln(x2)的反函数为yex12.(6)由y2x2x1得xlogy21y所以y2x2x1的反函数为ylogx.21x15.设函数f(x)在数集X上有定义试证函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.12证明先证必要性.设函数f(x)在X上有界,则存在正数M,使|f(x)|M,即Mf(x)M.这这就证明了f(x)在X上有下界M和上界M.再证充分性.设函数f(x)在X上有下界K1和上界K2,即K1f(x)K2.取Mmax{|K1|,|K2|},则MK1f(x)K2M,即|f(x)|M.这就证明了f(x)在X上有界.16.在下列各题中求由所给函数复合而成的函数并求这函数分别对应于给定自变量值x1和x2的函数值(1)yu2usinxxx1623(2)ysinuu2xxx18,24(3)yuu1x2x11x22(4)yeuux2x10x21(5)yu2uexx11x21.解(1)ysin2xysin2(1)21ysin2(3)23.16242324(2)ysin2xysin(2)sin2ysin(2)sin1.1842242(3)y1x2y11122y21225.(4)yex2ye021ye12e.(5)ye2xy1e21e2y2e2(1)e2.17.设f(x)的定义域D[01]求下列各函数的定义域(1)f(x2)(2)f(sinx)(3)f(xa)(a0)(4)f(xa)f(xa)(a0).解(1)由0x21得|x|1所以函数f(x2)的定义域为[11].(2)由0sinx1得2nx(2n1)(n012)所以函数f(sinx)的定义域为[2n(2n1)(n012).(3)由0xa1得ax