中点问题

三角形与四边形综合之中点问题第一节基本概述一.在题目中看到中点，我们可以想到的作辅助线的方法：1.倍长中线（普通中点）[与下面两个中点相对的]2.三线合一（等腰△底边中点）3.斜边上的中线（直角△斜边上的中点）4.中位线（多个中点）注：1.只要给了中点，想到一连即可，比较简单。2.我的简单反射是看到中点，先去看中点所在线段，再看中点所在线段所对的角是不是90°（到后面构造中点的时候很重要的反射）二.关于中点问题辅助线中很重要的技能叫做构造中点（几何中比较高端的类型）其中中位线和斜边上的中线需要构造中点的很多。三.发现中点中点不一定是直接给出来的，一定要灵活对待1.点A是线段BC的中点2.AB=CB3.等腰三角形ABC中，AB=AC,AD⊥BC4.矩形，正方形，菱形，平行四边形，连接对角线第二节中位线（一）定义：连接三角形任意两边中点的线段叫做三角形的中位线（二）性质定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半（三）几何语言：∵AD=DB,AE=EC∴DE12BC（四）证明过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。∵CF∥AD∴∠BAC=∠ACF∵AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF∴△ADE≌△CFE∴AD=CF∵D为AB中点∴AD=BD∵AD=CF、AD=BD∴BD=CF∵BD∥CF、BD=CF∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC∴在平行四边形ADCF中DE=BC/2∴三角形的中位线定理成立（五）已知平行，有一个中点，证另外一个也是中点到了九年级，这个直接用相似就可以证，现在需要用别的方法。已知：△ABC中，M为AB的中点，过M作MN∥BC交AC与N求证：N为AC中点△AMN≌△BPMPBCN为平行四边形AMBNCP反射就是：当有一条线段经过中位线时，交点必平分此线段【例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5cm，BC＝8cm，DE＝4cm，则图中阴影部分的面积为_____cm2。（六）中点四边形①当给出一个四边形，连接各边中点所构成的四边形一定是一个平行四边形。由中位线可以知道证一组对边平行且相等②这个平行四边形的形状只与外面大的四边形的对角有关，与其本身的形状无关。如：（1）若外面是一个任意四边形，其为平行四边形（2）若外面是一个矩形（对角线相等），内部为菱形（3）若外面是一个菱形（对角线垂直），内部为矩形③中点四边形面积（1）S中间的四边形=S四个三角形的和=12S临近的外面四边形（2）若接着一个套一个S中间=12（n-1）×S最外四边形（n为四边形的个数）例题：把这个四边形分成九块，种植三种不同品种的花草，其中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,P,Q,R,K分别为EF,FG,GH,HE的中点，现要在四边形PQRK中种上红色的花，在△PFQ，△QGR,△RHK,△KEP中种上黄色的花，在△HAE，△EBF,△FCG,△GDH中种上紫色的花，已知红黄紫三种花的价格分别是8元/㎡，10元/㎡，12元/㎡，而种红花用去120元，请计算出种满这块四边形空地需要多少元？证法用相似三角形面积比等于相似比的平方（七）构造辅助线当手足无措的时候，可以想一想构造辅助线。不过也不要一见到中点就马上构造辅助线，一定要看看是否需要。不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。出现两个中点，当把它们连接时，发现不是中位线时。我们有两种思路（都很重要，有时一种做不出来另外一种可以）①思路一（几乎用这个思路都有一组相等线段）核心思想：构造第三个中点，连接题目中所有中点，利用中位线定理解题。步骤：（1）看到这几个中点，找到这几个中点所在线段。用铅笔把这几个线段描黑。（2）构造有上述描黑线段的具有公共边的三角形：连接某个线段，让此线段作为这个三角形的公共边，中点所在线段作为一条边，另外一条边应该由题目中给出的相等条件线段构成。（3）题目中应该还给了一对边的关系，立刻把这条边也画上，所围成的三角形就出来了（4）在公共边上再构造一个中点，与上面几个中点相连（5）利用中位线定理，写出中位线与相等边的关系，这个时候一定别忘了还有平行，而不只有数量关系。应用：可以倒角，边，证明一个悬空线段的取值范围②思路二（用的很少，当没有相等线段的时候用的很多）核心思想：构造出一个以连接的这个线段为中位线的三角形。步骤：（1）死死抓住一条有中点的线段，作为此三角形的一个边（2）连接一点和另外一条线段的中点，并且延长，构成一个类倍长中线（3）用那条辅助线构成的三角形，证全等，得到一些线段，角度相等。应用：求关系，三角形的三边注：1.当给的不是中点而是线段相等，你也应该想到2.三线合一出来的中点别忘了3.题目中辅助线构成等腰三角形，也有可能用到三线合一4.能出中点的不一定只有题目给出的，还有一些四边形的对角线【例1】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME=∠CNE【例2】在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明。【例3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连结EF，分别交AC、BD于点M、N，判断△OMN的形状【例4】如图所示，在△ABC中，D、G分别为AB、AC上的点，且BD＝CG，M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：AP＝AQ。MNMN【例5】已知，如图所示，在梯形ABCD中，E、F分别为BD、AC的中点。求证EF与AD、BC之间的关系【例6】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，已知两底之差是6，两腰之和是12，则△EFG的周长是（）【例7】如图ABCD，AM=DM,BN=CD,AB=2,DC=3，求MN的取值范围ABCDEFNBAMDC第三节斜边上的中线直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（一）几何语言：在Rt△AOC中∵AO=CO∴BO=12AC（二）应用它是一个很好的倒角工具这样把整个直角三角形分成了两个等腰三角形（三）构造辅助线当手足无措的时候，可以想一想构造辅助线。不过也不要一见到中点就马上构造辅助线，一定要看看是否需要。不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。在中位线的时候有时候我们明显可以感觉到就是填中位线，但是有时候也不是很容易能想到，因此辅助线说不好听的，就是瞎猜，猜对了就对了，反正就那么四个。一定要敢猜，因为不猜的话，也许这道题根本出不来思路，作出来辅助线才能有思路。不过在猜之前，你先想想可不可以不用辅助线，不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。①有的题目有直角，需要构造斜边，②有的斜边需要自己画中点步骤：（1）看到中点，画出中点所在线段（2）看看此线段是否所对的角为直角，是则连接直角的顶点和此中点注：1.当给的不是中点而是线段相等，你也应该想到2.三线合一出来的中点别忘了3.题目中辅助线构成等腰三角形，也有可能用到三线合一4.能出中点的不一定只有题目给出的，还有一些四边形的对角线5.学了这个中点，别忘了中位线6.逆定理需要自己证明（即证明90°角）当给出∠B=60°，AB:BC=1:2,则取AB中点D，连接DC，△DBC为等边三角形ABCOABDC所以∠BCD=60°，所以CD=BD=AD，∠BDC=60°（外角）∠ACD=30°，∠ACB=90°【例1】如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，F、G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为______。【例2】如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，取AC中点O，BC中点E，连接OD、OE、DE，∠CAD＝∠CAB＝20°，则∠DOE＝______。【例3】如图，已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°，∠BAD=∠CAE。连接DE，设M为DE的中点。求证：MB＝MC；【例4】如图，BD、CE是锐角△ABC的两条高，过顶点B、C分别作ED的垂线BF、CG，垂足分别为点F、G，求证：EF＝DG。【例5】如图，延长矩形ABCD的边AB至点E，AE=AC，F为CE中点，求证DF⊥BF【例6】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形。⑴求证：四边形ABCD是菱形；⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形。