13常微分方程试卷A及答案

1盐城师范学院考查试卷2014-2015学年第一学期数学科学学院金融数学专业《常微分方程》试卷A班级学号姓名一、单项选择题（在每小题的4个备选答案中，选出一个最佳答案，共5小题；每小题3分，共15分）1.方程yxxydxdy不是（）（A）齐次微分方程.（B）贝努利微分方程.（C）变量分离方程.（D）非线性微分方程.2.微分方程0yyxy满足条件0)0(y的解有（）（A）1个.（B）2个.（C）3个.（D）无穷多个.3.微分方程02yyy的基本解组xxee2,的朗斯基行列式的值为（）（A）xe3.（B）xe3.（C）xe.（D）xe.4.微分方程1xeyy的一个特解应具有形式（）（A）baxex.（B）baex.（C）bxaex.（D）bxaxex.5.可以成为微分方程组xx2012的基解矩阵是（）（A）10012te.（B）1012tet.（C）1012tet.（D）tet1102.二、填空题（本大题5空,每空3分,共15分）1.当k____________时，xxysec2是微分方程xkxyysectan的解.2.微分方程0)(22xydydxxyx有积分因子____________________________.3.微分方程xdxdy2与直线32xy相切的解是_____________________.4.通解为xxecexcc2321)(的三阶常系数齐线性微分方程为___________________.5.证明微分方程组],[),()(battfxtAx满足初值条件)(0tx的解的存在唯一性定理时所构造的皮卡逐步逼近向量函数序列为_______________________________。2三、计算题（本大题共5小题,每小题10分,共50分）1.设)(xf连续，且满足xxedttfxf0)()(，求)(xf.2.利用解的存在唯一性定理确定初值问题0)1(,),(,22yRyxyxdxdy的解的存在区间，并求第二次近似解,}1,11|),{(yxyxR这里.3.解方程0)(122xxx.4．求解方程xxeyyy'2.35．解方程组.3,5,3zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx四、应用题（本大题共1题，共10分）求一曲线，使其具有性质：曲线上每一点处的切线，切点到原点的向径以及x轴围成一个等腰三角形(以x轴为底)，且通过点(1，2).五、证明题（本大题共1题，共10分）设A为nn常数矩阵,)(t为微分方程组Axx的定义在),(上的标准基解矩阵,所谓标准是指)(t还满足E)0(，试证明:),(t,有)()()(010tttt，其中),(0t为某一确定的值.4盐城师范学院2014—2015学年第一学期期末考查《常微分方程》试卷A参考答案及评分标准一、单项选择题(本大题共5题，每题3分，共15分)题号12345答案CDAAB二、填空题(本大题共5空，每空3分，共15分)1.2；2.)1,01(都对或等于cccx；3.42xy;4.0254yyyy；5.ttkkdssfssAtt0,)()()()(,)(10bta,,2,1k.三、计算题（本大题共5题，每题10分，共50分）1．解:所给积分方程两边关于x求导,得xexfxf)()(,(4分)由积分方程还可以得到1)0(f.上述方程为一阶线性微分方程,它的通解为)()()(xcedxeecexfxdxxdx,(8分)由(0)11fc知，故xexxf)1()(.(10分)1．解:这里41}41,1min{},min{4),(max),(MbahyxfMRyx，.由解的存在唯一性定理知该初值问题的解的存在区间为4345，。(5分)我们可以作如下的近似解表达式：,4211931863)()(,31)()(,0)(347121223120210xxxxdyxyxdyxyxyxx(10分)3．解:令,yx直接计算可得dxdyyx，代入原方程,得50122yxdxdyy,(4分)即yxdxdyy120或，由后一方程积分后得2)1(xcy,即数为不同时为零的任意常其中积分得21212,,11,)1(cccctcxxcx.(8分)由cxxy积分得得,00,而当得到可由时21111ctcxcxc.于是,1211.xctc原方程的通解为(10分)4．解:所给方程的特征方程为0122kk，解之得特征根为12,1k.(3分)因1是特征根,所以可设特解为xebaxxy2,(5分)求导得xebxxbaaxy2)3(23，xebxbaxbaaxy2)46()6(23.代入所给方程得xxxeebax26.比较系数得61a，0b，则特解为xexy361.(7分)于是原方程通解为32161xxcceyx.(10分)5．解：所给方程组的特征方程为06)(32311151113detAE.解之得特征根为21，32，63.(3分)解方程组0)(1uAE得与1对应的特征向量为0,101u;6解方程组0)(2uAE得与2对应的特征向量为0,111u;解方程组0)(3uAE得与3对应的特征向量为0,121u.(9分)于是所求方程组的通解为236123111012111tttxycececez(10分)四、应用题（本大题共1题，共10分）解：设所求曲线方程为)(xyy，),(yx为其上的任一点，则过该点曲线的切线方程为)(xXyyY，(3分)它与x轴的交点的坐标为)0,(yyx，由题意有2222)(yyyyx,即xyy.因所求曲线经过点(1,2),显然xyy不合题意,事实上,曲线)(xyy上过点(1,2)处的切线为xy2和点(1,2)处的向径所在的直线重合,这与题设相矛盾.所以有xyy，（7分）它的通解为cxy，将条件2)1(y代入得所求曲线方程为2xy。（10分）五、证明题（本大题共1题，共10分）证明:因为)(t为所给方程组的解,所以),(t,有)()(tAt,又矩阵A为nn常数矩阵,所以),(t,有)()(00ttAtt,(4分)且有01)(det00Ett,则)(0tt也是所给方程组的基解矩阵.因而存在常数方阵C7使),(t,有Cttt)()(0.（7分）又E)0(,故在上式中令0tt,得)(01tC.因而有)()()(001tttt,),(t.（10分）