实对称矩阵

第三节实对称矩阵对称矩阵如果方阵A满足,AAT就称A为对称矩阵111100330574702423例如方阵A为对称矩阵矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等定理2实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。设A是对称矩阵1112221212,,0,0,AA11211212[,][,][,]A12A12A122122,212,1212,0实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值必为实数。证明定理3设A是n阶对称矩阵，是A的特征方程的重根，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量。rr定理设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得,PAP其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向量。实对称矩阵的对角化例用正交变换把下列对称矩阵对角化222254245解（１）求方阵Ａ的特征值由0AE得特征值1231,10（２）求特征向量310,对于121,对于0AEX解方程组122,1,0,2,0,1TT得一个基础解系解方程组100AEX得一个基础解系31,2,2T（３）将特征向量组正交化、单位化令112,1,0T2122111,12,4,5,5T331,2,2T111112,1,05Te222112,4,535Te333111,2,23Te正交化单位化（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵令1232525151535452,,515352033Peee则有11110TPAPPAP求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：1、求矩阵A的特征值2、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵练习设实对称矩阵324202423A解A的特征多项式为AE324202423326158218（）（）=0A的特征值为12318，求正交矩阵P,使1PAP为对角矩阵.121，当解方程组10AEx（（））即123424021204240xxx得到两个线性无关的特征向量12101120（，，），（，，）对于38得到特征向量3212（，，）11，2122111[][]，，110.512022010.5取33１２３则，，是矩阵A的正交特征向量组单位化11111(1,0,1)2e22211(1,4,1)32e33311(2,1,2)3e123(,,)112323241=03321123232Peee1100010008PAP令则有定义设A为n阶方阵,若TAA则称A为反对称矩阵性质(1)实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.(2)奇数阶反对称阵对应的行列式为0.(3)非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.反对称矩阵定义设A为n阶方阵,若满足2AA则称A为幂等矩阵.性质(1)幂等矩阵的特征值为0或1.(2)幂等矩阵一定相似于形如000rE的对称阵.幂等矩阵幂零矩阵定义设A为n阶方阵,若满足0mA(ｍ为正整数），则称Ａ为幂零矩阵．性质(1)幂零矩阵的特征值为0.(２)非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.作业P107-P108习题四4.94.11(1)4.124.17预习第四章第四节