(完整版)最新中考数学经典压轴题专题

..专题1：抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP为等腰三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1）AB为底时（即PAPB）：点P在AB的垂直平分线上。利用中点公式求出AB的中点M；利用两点的斜率公式求出ABk，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出AB的垂直平分线的斜率k；利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式；将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。（2）AB为腰时，分两类讨论：①以A为顶角时（即APAB）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆上。②以B为顶角时（即BPBA）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。专题2：抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP为直角三角形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1）AB为斜边时（即PAPB）：点P在以AB为直径的圆周上。利用中点公式求出AB的中点M；..利用圆的一般方程列出M的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。（2）AB为直角边时，分两类讨论：①以A为直角时（即APAB）：②以B为直角时（即BPBA）：利用两点的斜率公式求出ABk，因为两直线垂直斜率乘积为1，进而求出PA（或PB）的斜率k；进而求出PA（或PB）的解析式；将PA（或PB）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则由勾股定理可得：221221yyxxPQ。二、圆的方程：点y,xP在⊙M上，⊙M中的圆心M为b,a，半径为R。则RbyaxPM22，得到方程☆：222Rbyax。∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。三、中点公式：四、已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ的中点M为222121yy,xx。五、任意两点的斜率公式：..已知两点2211y,xQ,y,xP，则直线PQ的斜率：2121xxyykPQ。中考压轴题专题3：抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为平行四边形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1）AB为边时（2）AB为对角线时二、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为距形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为菱形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直四、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为正方形，求点P坐标。在四边形ABPQ为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直在四边形ABPQ为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：..（1）邻边互相垂直（2）对角线相等五、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ为梯形，求点P坐标。分三大类进行讨论：（1）AB为底时（2）AB为腰时（3）AB为对角线时典型例题：典型例题：例1（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.图9yxOEDCBAGABCDOxy图10..例2（2009年烟台市）如图，抛物线23yaxbx与x轴交于AB，两点，与y轴交于C点，且经过点(23)a，，对称轴是直线1x，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点PACN，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3yx与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与BD，重合），经过ABE，，三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF△的形状，并说明理由；..（4）当E是直线3yx上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．例3.（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；OBxyAMC13（第26题图）..（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C的坐标（0，－2），解得21a．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy．（2）设点P的坐标为))4)(1(21,(xxx．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，)4)(1(21xxPM，xAM4．如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx．解得5x不合题意．如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx．解得2x．此时点P的坐标为（2，1）．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，)4)(1(21xxPM，4xAM．解方程24)4)(1(21xxx，得5x．此时点P的坐标为)2,5(．..解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，)4)(1(21xxPM，xAM4．解方程24)4)(1(21xxx，得3x．此时点P的坐标为)14,3(．解方程214)4)(1(21xxx，得0x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)14,3(或)2,5(．图2图3图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为221xy．设点D的横坐标为m)41(m，那么点D的坐标为)22521,(2mmm，点E的坐标为)221,(mm．所以)221()22521(2mmmDEmm2212．因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m．当2m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．..图5图6..例4.如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQAB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)yxn，代入点C(0，－3)，得4n．所以抛物线的函数表达式为22(1)423yxxx．..（2）由223(1)(3)yxxxx，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为ykxb，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.kbb解得1k，3b．所以直线BC的函数表达式为3yx．（3）①因为AB＝4，所以334PQAB．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为12．于是得到点P的坐标为17,24，点F的坐标为70,4．所以75344FCOCOF，522ECFC．进而得到51322OEOCEC，点E的坐标为10,2．直线BC:3yx与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．过点D作DH⊥y轴，垂足为H．在Rt△EDH中，DH＝1，13222EHOHOE，所以tan∠CED23DHEH．②1(12,2)P，265(1,)22P．图2图3图4考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．..例5.（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），例6.（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．..．∴抛物线的解析式为：y=x