第3章-刚体定轴转动习题解答

1习题3-1一汽车发动机曲轴的转速在12s内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？解：（1）)/(401srad)/(902srad)/(1.13)/(6251240902212sradsradt匀变速转动（2）)(78022122rad)(3902圈n3-2一飞轮的转动惯量为J,在0t时角速度为0，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数0K。求：（1）当30时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30所需要的时间。解：（1）依题意2KJM)/(92202sradJKJK（2）由JKdtd2得32000KJddttKJt23-3如图所示，发电机的轮A由蒸汽机的轮B通过皮带带动。两轮半径AR=30cm，BR75cm。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0Brad/s2，设轮与皮带之间没有滑动。求（1）经过多少秒后发电机的转速达到An=600rev/min？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min，求其角加速度。2解：（1）tAAtBB因为轮和皮带之间没有滑动，所以A、B两轮边缘的线速度相同，即BBAARR又)/(20606002sradA联立得)(10sRRtBBAA（2）)/(10603002sradA)/(62sradtAAA3-4一个半径为R1.0m的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。若该物体从静止开始匀加速下降，在t＝2.0s内下降的距离h＝0.4m。求物体开始下降后第3秒末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。解：物体下落的加速度)/(2.0222smtha又Raat，得圆盘的角加速度)/(2.02srad第3秒末，圆盘的角速度)/(6.0sradt所以)/(2.02smat)/(36.022smRan3-5一个砂轮直径为0.4m，质量为20kg，以每分钟900转的转速转动。撤去动力后，一个工件以100N的正压力作用在砂轮边缘上，使砂轮在11.3s内停止，求砂轮和工件的摩擦系数(忽略砂轮轴的摩擦)。解：JM其中NRM，得JNRJMdtd3000NRJddtt，即NRtJ0又)/(306090020srad，)(4.022122mkgdmJ得167.03-6如图所示，质量为m的匀质圆环，半径为R，当它绕通过环心的直径轴转动时，求圆环对轴的转动惯量J。解：方法一：设过环心且垂直于圆环所在平面的轴线为z轴，过环心的两条互相垂直的直径分别为x轴和y轴，根据垂直轴定理yxzJJJ由对称性可知yxJJ，又2mRJz得221mRJJJyx方法二：Rddldm，其中Rm2dRRdmdJ232sinsin23202321sinmRRdRJ习题3-6图习题3-3图43-7如图所示，长为L2的匀质细棒，质量为M，未端固定一质量为m的质点，当它绕过棒中点的水平轴转动时，求转动惯量J。解:22M31mLMLJJJm3-8如图所示，从质量为M，半径为R的匀质薄圆板上挖去一个半径为r的圆孔，圆孔的中心位于半径的中点。求此时圆板对于原板中心且与板面垂直的轴线的转动惯量。解：可以把带孔的圆板看成均匀的完整圆板减去一个跟圆孔大小一致的圆板，即孔板圆板JJJ221MRJ圆板，22)2(21RmmrJ孔板，其中MRrm22得2242412121MrRrMMRJ3-9如图所示，把两根质量均为m，长为l的匀质细棒一端焊接相连，其夹角120，取连接处为坐标原点，两个细棒所在的平面为Oxy平面，求此结构分别对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量。习题3-7图习题3-8图5解：（1）xxxJJJ右左,其中0xJ右30cosyl，30cos222ldymydllmydmydJx左，30cos0224130coslxmlldymyJ左，即241mlJJJxxx右左（2）yyyJJJ右左,其中231mlJy右30sinxl,30sin222ldxmxdllmxdmxdJy左，30sin02212130sinlmlldxmxJ左，所以2125mlJJJyyy右左(3)222323131mlmlmlJz或2223212541mlmlmlJJJyxz3-10如图所示，在边长为a的正六边形的六个顶点上各固定一个质量为m的质点，设这正六边形放在Oxy平面内，求：（1）对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量；（2）对过中心C且平行于Oy的yO轴的转动惯量。习题3-9图习题3-10图6解：（1）223)23(402maamJx22229)2(1)23(2)2(201maamaamJy222212)2(1)3(2201maamamaJz（2）2223)2(42maammaJy或根据平行轴定理2236maamJJyy3-11匀质圆盘质量为m、半径为R，放在粗糙的水平桌面上，绕通过盘心的竖直轴转动，初始角速度为0，已知圆盘与桌面的摩擦系数为，问经过多长时间后圆盘静止？解：可以把圆盘看成由许许多多的小圆环组成，其中半径为r、宽度dr的质量为rdrdSdm2，其中2Rm，受到的摩擦力矩为drgrdmgrdM22所以整体圆盘受到的摩擦力矩为mgRgRdrgrMR32322302又JM，221mRJRgJMdtd34常量gRt4300073-12如图所示，斜面倾角为，位于斜面顶端的卷扬机鼓轮半径为r、转动惯量为J、受到的驱动力矩M，通过绳索牵引斜面上质量为m的物体，物体与斜面间摩擦系数为，求重物上滑的加速度。绳与斜面平行，不计绳质量。解：ramamgmgTJTrMsincos得2)sincos(mrJrmgumgMa3-13如图所示，两物体质量分别为1m和2m，定滑轮的质量为m、半径为r，可视作均匀圆盘。已知2m与桌面间的滑动摩擦系数为k，求1m下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。解:ramrJJrTrTamgmTamTgmk22122211121习题3-12图习题3-13图8得mmmgmgmak212122)(2mmmgmmgmmagmTk211211122)1(2)(mmmgmmgmmamgmTkkk2122122222)1(23-14如图所示的飞轮制动装置，飞轮质量m＝600kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转速为900rev/min。闸杆尺寸如图示，闸瓦与飞轮间的摩擦系数40.0，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算，现在闸杆的一端加一竖直方向的制动力N100F，问飞轮将在多长时间内停止转动?在这段时间内飞轮转了几转？解：设作用在飞轮上的压力为N，则有)75.05.0(5.0FN，得)N(250N)/(340221sradmRNRJM习题3-15图习题3-14图9又)/(306090020srad，所以)(07.700st又2020，得)(532转n3-15如图所示，长为l，质量为M的匀质细棒可绕过其端点的水平轴在竖直面内自由转动，现将棒提到水平位置并由静止释放，当棒摆到竖直位置时与放在地面上质量为m的物体相碰。设碰后棒不动，物体与地面的摩擦系数为，求碰撞后物体经过多少时间停止运动？解：由机械能守恒2212JLMg，得JMgL又角动量守恒得mvLJ，有LMgJmmLJv1又ga，得LMgJmgavt10又231MLJ，即gLmgMt333-16质量为M、半径为R的水平转台，可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。质量为m的人站在转台的边缘，人和转台原来都静止。当人沿转台边缘走一周时，求人和转台相对地面转过的角度。解：以人和转台组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的角速度为，转台相对地的角速度为，由角动量守恒得2221)(MRmr10移项得)21(222mrMRmr即dtdmrMRdtdmr)21(222两边消去dt，并积分的022202)21(dmrMRdmr解得221222MRmrmr3-17质量为M、半径为R的水平转台，可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。初角速度为0，当质量为m的人以相对转台的恒定速率v沿半径从转台中心向边缘走去，求转台转过的角度随时间t的变化函数。解：以人和转台组成的系统为研究对象，其角动量守恒。设某一时刻t人运行到距轴心ut处，由角动量守恒得)21(2122202tmuMRMR得022222tmuMRMR又因为dtd并积分的得)2arctan(200MmRutmMuRdt3-18如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度0在无摩擦的水平面上，作半径为0r的圆周运动。在绳的另一端作用一竖直向下的拉力后，小球作半径为2/0r的圆周运动.试求：（1）小球新的角速度；（2）拉力所作的功。11解：（1）由角动量守恒得202002rmrm得04（2）0202002023)(21)2(21mrrmrmEA3-19如图3-30所示，A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接，A轮的转动惯量1J=10.0kg·m2，开始时B轮静止，A轮以1n=600rev/min的转速转动，然后使A与B连接，因而B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速都等于n=200rev/min为止.求：（1）B轮的转动惯量；（2）在啮合过程中损失的机械能。解：（1）)/(206060021sradA01B)/(32060200222sradBA由角动量守恒)(2111JJJB解得)(0.202212mkgJJ（2）)(1063.221)(213211221JJJJE3-20长L＝0.40ｍ的匀质木棒，质量M＝1.０kg，可绕水平轴O在竖习题3-18图习题3-19图12直面内转动，开始时棒自然下垂，现有质量m＝8.0g的子弹以v＝200m/s的速率从A点射入棒中，设A点与O点距离为L，求（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏角。解：由角动量守恒定律]4331[4322LmMLLmv)/(88.843314322sradLmMLLmv（2）)cos1(43)cos1(2]4331[21222LmgLMgLmML21943-21如图所示，一扇长方形的均质门，质量为m、长为a、宽为b，转轴在长方形的一条边上。若有一质量为0m的小球以速度0v垂直入射于门面的边缘上，设碰撞是完全弹性的。求：（1）门对轴的转动惯量；（2）碰撞后球的速度和门的角速度；（3）讨论小球碰撞后的运动方向。解：（1）adxdSdmdxaxdmxdJ2223023131mbabdxaxJb（2）设碰撞后，门的角速度为，小球的速度大小为v，方向与0v同向由角动量守恒定律vbmJbvm000由