漫谈正项级数的收敛性及收敛速度

漫谈正项级数的收敛性及收敛速度nnnaaaa211称为无穷级数。当0na时，此级数称为正项级数。记nnaaaS21，,2,1n，则}{nS为部分和数列。级数1nna的敛散性是通过数列}{nS的敛散性来定义。显然，级数1nna时，有0limnna。因此，0limnna时，必有级数1nna发散。但是0limnna未必有1nna收敛。只有当无穷小na的阶高到一定的程度时，1nna才收敛。可以证明：几何级数1nnq，当1||q时收敛；当1||q时发散。p-级数11npn，当1p时收敛；当1p时发散。由p-级数11npn的敛散性及比较判别法，可以看出，当na趋于0的速度快于n1时，级数1nna收敛；而当na趋于0的速度不快于n1时，级数1nna发散。因而，无穷小n1是衡量级数1nna敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小nnln1趋于0的速度远远快于n1，但是级数1ln1nnn仍然发散。可以证明，级数1ln1npnn，当1p时收敛；当1p时发散。于是，无穷小nnln1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当na趋于0的速度快于nnln1时，级数1nna收敛；而当na趋于0的速度不快于nnln1时，级数1nna发散。可是，马上又面临新问题：无穷小nnnlnlnln1趋于0的速度远远快于nnln1，但是1lnlnln1nnnn仍然发散级数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺子”：n1，nnln1，nnnlnlnln1。这些“尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。由几何级数的11nnq的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n充分大时，正项级数的后一项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达朗贝尔）判别法和根值（柯西）判别法：若nnnaa1lim（nnnlim），则当1时，正项级数1nna收敛；当1时，正项级数1nna发散；而当1时，判别法失效。这两种判别法具有明显的优势：仅需要级数自身项的性质，不需要比较级数，使用起来较为方便。然而它们是基于几何级数的判别敛散性的“尺子”，其精度远比基于p-级数的“尺子”粗糙的多。事实上，对于11nn，11nn，121nn可计算1，因此，比值和根值判别法失效。但是，根据比较判别法和p-级数的敛散性，前两个级数发散，后一个级数收敛。比值和根值判别法的本质是比较判别法，与之相比较的是几何级数11nnq。在判定级数收敛时，要求级数的通项受到nq（10q）的控制。而在判定级数发散时，则是根据其一般项不趋于0。由于二者相去甚远。因此判别法在许多情况下都会失效，即便对p-级数11npn也无能为力。为了弥补上述比值和根植判别法的局限性，我们有拉阿伯判别法：设raannnn1lim1，则当1r时1nna收敛；当1r时1nna发散。虽然拉阿伯判别法有时可以处理比值和根植判别法失效的级数，如p-级数等，但是对于11lim1nnnaan时，阿伯判别法仍然失效。例如，对于1ln1npnn成立11lim1nnnaan，但是由积分判别法可知，1ln1npnn当1p时收敛；当1p时发散。事实上还可以建立比阿伯判别法更有效的判别法，如，Bertrand判别法：设raannnnn11lnlim1，则当1r时1nna收敛；当1r时1nna发散。但是，当1r时，该判别法有失效了。这种逐次建立更有效的判别法的过程是无限的。每次都能得到新的适用范围更广的判别法。下面给出两个与级数收敛性及速度有关的有趣例子。问题1：曾经有同学向我提出这样一个问题：假设汽车速度1v快于自行车的速度2v，而汽车在自行车的后方s，则显然经过时间21vvsT后，汽车就会追赶上自行车。但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程s到达自行车原来所在的位置时，即经过了时间11vst时，自行车又前进了路程svvtvs12121。当汽车前进路程1s，即又经过了121112vvvsvst时，自行车又前进了路程svvtvs212222，这样一直下去，直观上感觉，汽车总是差一点才能追赶上自行车。问题出在哪里呢？事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。汽车追赶第n段路程化肥的时间为1121nnvvvst，此时，汽车与自行车相距路程为svvsnn12，汽车追赶自行车花费的时间的总和是一个无穷级数111211nnnnvvvstt，它是一个公比)1(12vvq的几何级数，因此，和为Tvvsvvvst21121/1/。所以，经过时间21vvsT后，汽车就会追赶上自行车。问题2：爬金箍棒的蚂蚁的故事（选自数学趣题与妙解）：这天，孙悟空闲暇无时，他把他的金箍棒变成了10cm长的小棒，立在地上。这是一只蚂蚁来到棒的底部，沿着小棒往上爬，孙悟空眼睛一亮，心想“要爬，没那么容易！”只听他叫了一声“变”，地上的棒应声长了起来，眼看越长越高，而那只蚂蚁似乎什么都没有发现，还是慢悠悠地一如既往地往上爬。如果蚂蚁始终沿铅垂线匀速上爬，每分钟上升1cm。在孙悟空叫变时，已经爬至高1cm处，此后，棒的各部分每个时刻都是匀速地变长，每经1分钟，棒就增长10cm，即第一分钟末，高10cm，第二分钟末，高20cm，第三分钟末，高30cm，...请问最终蚂蚁能够爬到棒的顶端吗？不少人会说，由于蚂蚁爬行的速度不变，而棒的长度不停的变长，蚂蚁永远不会爬到棒的顶端。这样他就忽略了一个事实：由于棒的各部分均匀变长，因而每个时刻，尚未爬过的、正在爬过的和已经爬过的部分都同样要变长的。第一分钟，蚂蚁爬过了1cm，为棒高的101；到第二分钟末，棒高伸长为20cm，而爬过的1cm，也变成了2cm，因而，仍是棒高的101且以后始终保持为棒高的101。如果第一分钟末到第二分钟末这段时间内，新爬过的部分没有变长，则第二分钟内爬过的部分是棒高的201，但实际上，新爬过的部分也在变长，因而第二分钟内爬过的高度要大于棒高的201并且这一小段在以后棒变高的过程中，始终要大于棒高的201。同理，第三分钟内，蚂蚁爬过的高度大于棒高的301，...。若棒高为L，则在第n分钟末，蚂蚁爬过的高度将大于)131211(10nL。于是，问题转化为：是否存在n，使得10131211n。这当然可以做到，因为调和级数11nn是发散级数。A1B1110A1’B1’B2220