机械振动学总结

12机械2班徐云20120310010215机械振动学总结第一章一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x和时间t的关系可用三角函数的表示为)2sin()2cos(tTAtTAx式中：A为振幅，T为周期，和称为初相角。如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即)sin()cos(2tAxatAxv可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。因此在物体运动前加速度是最早出现的量。可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。这是简谐振动的重要特征。在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。图P6旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频率若用复数来表示，则有)sin()cos()(tjAtAzAeztj用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。因为复指数tje对时间求导一次相当于在其前乘以j，而每乘一次j，相当于有初相角2。二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。则都可展成Fourier级数的形式，若周期为T的周期振动函数，则有10)sin(2)(nnNtnAatx式中22nnnbaAnnnbatan三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222tAx，)sin(2222tAx它们的合成运动也是该频率的简谐振动)sin(tAx2.俩个不同频率振动的合成tAx111sintAx222sin若21，则合成运动为tAtAxxxx221121sinsin若21，对于AAA21,则有ttAxtAtAxxxx)2sin()2cos(2sinsin2121221121上式可表示为ttAsin2sin2二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x方向的运动为tAxsin沿y方向的运动为)sin(tBy2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动)sin(sin21tBytAx它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。四自由度物体在受约束条件下运动时，用于其确定位置所需的独立坐标数就是该系统的自由数度数。一个质点在空间做自由运动，决定其位置需要三个独立的坐标，故其自由度为3，而由n个相对位置可变的质点组成的质点系，其自由度为3n，刚体运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿直角坐标x，y和z的3个转角，所以其自由度为6，弹性体，塑性体和流体等变形连续体由于由无数个质点组成，故其自由度数为无限个。在振动分析中，往往把连续体这种分布系统用有限多个离散的集中参数来代替，做近似的描述。系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时的自由度数与约束条件数之差。对于n个质点组成的质点系，个质点的位移可用3n个直角坐标来描述。当有r个约束条件时，约束方程为rkzyxzyxfnnnk,,2,10),,,,,,(111为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r个独立的坐标Njzyxzyxqqnnnjj,,2,1),,,,,,(111来代替3n个直角坐标，这种坐标叫做广义坐标。第二章一线性系统状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。叠加原理是指:如果系统相应于任意两种输入和初始状态(u1(t),x01)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)),则当输入和初始状态为(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2x02)时，系统的状态和输出必为(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t)),其中x表示状态,y表示输出，u表示输入，C1和C2为任意实数。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输入变量)与输出变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。二无阻尼自由振动单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程0kxxm令mkwn/2，系统的运动方程可表示为02xwxn函数x(t)必须具有这样的性质：在微分过程中不改变其形式。因而假定方程的解为tBetx)(的形式是合理的。式中B和是待定常数，代入方程中0)(2tnBew方程决定于022nw方程叫做系统的特征方程或频率方程，它有一对共轭虚根：nj1，nj2，叫做系统的特征值或固有值，方程的俩个独立的特接分别为tjneBtx11)(tjneBtx22)(式中1B和2B是任意常数。方程的通解为tDtDtxtBBjtBBtxeBeBtxnnnntjtjnnsincos)(sin)(cos)()()(21212121方程的通解从物理意义上说，表达了系统对于确定的初始条件，系统发生某种确定的运动为txtxtxnnnsincos)(00它是由俩个相同频率的简谐运动所组成。再将这俩个相同频率的简谐运动合成为)sin()(tAtxn式中002020tan,)(xxxxAnnA为振幅，为初相角。线性系统自由振动振幅的大小只决定于施加给系统的初始条件和系统本身的固有频率，而与其他因素无关。线性系统自由振动的频率mkn/只决定于系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率，或无阻尼固有频率。三，能量法一个无阻尼的弹簧系统做自由振动时，由于不存在阻尼，没有能量从系统中散逸，没有能量输入，系统机械能守恒。T+U=E=常数最大动能和最大势能为222maxmax11,22nTmwAUkA由于2221122nmwAkA，并定义212mTkA，故可得maxnmUkwTm。四有阻尼自由振动在实际系统中总存在着阻尼，总是有能量的散逸，系统不可能持续作等幅的自由振动，而是随着时间的推移振幅将不断减小，这种自由振动叫做有阻尼自由振动。最常见的阻尼有粘性阻尼、库伦阻尼或干摩擦阻尼和结构阻尼。一、粘性阻尼的一个粘性阻尼器，直径为d，长为L的活塞，带有俩个直径为D的小孔，油的粘度为，密度为。作用于活塞上阻力的大小近似地表示为vDdLpdFd42)(44这表明，粘性阻尼器的阻尼力与速度成正比，方向和速度相反。这是，阻尼系数为4)(4DdLc二、粘性阻尼自由振动具有粘性阻尼的单自由度系统的理论模型，粘性阻尼力与相对速度成正比，应用牛顿定律，可列出系统的运动方程0kxxcxm其中无阻尼固有频率和阻尼比分别是kmcmkn2,动力学方程：022xxxnn系统的特征方程或频率方程02kcm方程的特征值的表达式可写成n)11(22,1当1这时方程的通解可表示为)1sin1cos()(2221tDtDetxnntn实际阻尼小于临界阻尼的系统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。当=1时，系统的阻尼系数等于系统的临界阻尼系数，这种系统叫做临界阻尼系统，系统的运动可表示为当1，这时，系统叫做过阻尼系统或强阻尼系统，其特征值为俩个实数，即n)1(22,1三、结构阻尼内摩擦所消耗的能量等于滞回环所围面积2cAE其中k是等效弹簧常数，A是振幅，等效粘性阻尼系数是hkce其中是无量纲的结构阻尼常数五强迫振动一、简谐激励力作用下的强迫振动单自由度系统在简谐激励力作用下的强迫振动的理论模型系统的运动方程为wtFkxxcxmsin式中F为激励力振幅，w为激励频率。方程是一个非齐次方程，在一般情况下，还受到初始条00)0()0(xxxx，的作用，实部和虚部分别与wtFcos0和wtFsin0相对应受力分析振动微分方程为jwtFekxxcxmX为复数变量，分别与wtFcos0和wtFsin0相对应，对于此方程的通解等于齐次微分方程的通解与非齐次微分方程特解之和，即暂态响应和稳态响应假定方程的特解为jwtSeXtx)(式中X为复振幅，代入方程中，有jXejwcmwkFX2式中X为振幅，是复振幅X的模，继而得到方程的相角，是复振幅X的幅角，有mwkwcXArg21tan因此，方程的特解为)()(wtjSXetx对于欠阻尼系统，齐次方程的通解为)sin()(twAetxdtwhn因此，对于弱阻尼系统，方程的通解为hSxxtx)(定义强迫振动的振幅X与Xo的比为放大因子，用M表示，则有2220)2()1(1rrXXM式中Xo=F/k,r=w/nw,Xo叫做等效静位移，r叫做频率比。（类似）当r→0是，M→1，而与阻尼无关，这意味着，当激励频率接近于零时，振幅与静位移相近。当r→时，M→0，也与阻尼大小无关，在激励频率很高时，振幅趋于零，质量不能跟上力的快速变化，将停留在平衡位置不动。当r=1时，=0，在理论上M→,将产生共振现象。强迫振动和激励力之间有相位差，方程可改写成212112tantanrrmwkwc下图便是以为参数，相角随r，即w变化的曲线六旋转不平衡质量在许多旋转机械中，转动部分总存在着质量不平衡，所以构建了如下图的系统列出系统的运动方程为wtmewkxxcxMsin2系统的放大因子可表示为2222)2()1(rrrmeMX其关系曲线表示在图上七，基础运动2)^2(2^2^12^21xyrrr八隔振用来消除对机器、仪器和设备的工作性能产生有害影响振动的措施叫做隔振，隔振分为俩种，积极隔振和消极隔振。积极隔振：把震源与地基隔离开来以减少它对周围的影响而采取的措施叫做积极隔振。消极隔振：为了减少外界震动对设备的影响而采取的隔振措施叫做消极隔振。九振动测试仪器1、位移传感器2、加速度传感器3、速度传感器十非简谐激励作用下的系统响应一、奏起激励作用下的强迫振动对于线性系统在受到周期激励作用时，系统稳态响应的计算为：10)sincos(2nnnnwtbnwtaakxxcxm系统的稳态响应为112222220)2()1()cos()2()1(2)(nnnnnrrbnwtrrkaatx二、非周期激励作用下的系统响应当系统受到单位脉冲的激励作用下的系统响应为0,00,sin1)(tttwemwthdtwdn第三章一无阻尼自由振动位移方程1，固有模态振动凡需要用俩个独立坐标来描述其运动的系统都是两自由度系统。由图建立坐标，坐标1x和2x是俩个独立的坐标，它们完全描述了系统在任何时刻的运动。根据牛顿定律得)()()()(212222121111tFxkxkkxmtFxkxkkxmcccc)()(002121212121tFtFxxkkkkkkxxmmcccc常数矩阵M和K分别叫做质量矩阵和刚度矩阵。2，位移方程柔度影响系数定义弹簧常数为k的弹簧的柔度系数为d=1/k则对于前面讨论的系统的运动方程表示为212111121FFdddddxx或FDx