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12014年第五届吉林省数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。答卷编号(参赛学校填写):答卷编号(竞赛组委会填写):论文题目:A组别:本科生参赛学校:北华大学报名序号:参赛队员信息:2答卷编号:评阅情况:评阅情况:省赛评阅1:省赛评阅2:省赛评阅3:省赛评阅4:省赛评阅5:1基于计划生育政策调整的数学模型摘要本文在年龄和性别分布基本均匀,寿命为75岁的前提下,研究了人口增长分别与晚育、少生、时间间隔的关系。基于人口和性别比例均匀分布的前提下,忽略其它年龄段意外死亡的情况,自然死亡年龄为75岁,死亡率为1/75。要解决人口增长与晚育的关系,我建立宋健人口模型,引进了有关生育模式的函数(1)1(1)()()rrrrehr,rr1,此函数中取2,2n,由于增加n就意味着晚育,因此对于第一个问题我们以n为变量,然后固定了其它变量,再通过MATLAB编写程序得以解决人口增长与晚育的关系。对于第二个问题我们考虑育龄妇女一生只生一胎,一胎一个来解决。基于前两个问题,对于第三个问题,我们通过结果和图形的分析,可以很好的解决人口增长与时间间隔的关系。最后,应用前三个问题中我们假设的数据对20年后我国的人口数进行预测。得出当单位时间内平均每个育龄女性的生育数为0.2时,我国20年后人口总数为14.8653亿,达到控制在15亿内的要求。可见我们的假设具有一定的合理性。关键词:人口模型生育模式人口增长一、问题重述人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来,我国鼓励晚婚晚育,提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来,有效地控制了我国人口的过快增长,对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面,其负面影响也开始显现。如小学招生人数(1995年以来)、高校报名人数(2009年以来)逐年下降,劳动人口绝对数量开始步入下降通道,人口抚养比的相变时刻即将到来,这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响,引起了中央和社会各界的重视。党的十八届三中全会提出了开放单独二孩,今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。自1978年将计划生育成为中国的一项基本国策以来,在这20多年的时间里,计划生育政策对建设中国特设社会主义、实现国家富强和民族振兴产生了巨大影响,为促进世界人口与发展发挥了重大作用。但是,在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后,我国人口的主要矛盾已经不再是增长过快,而是人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、2出生性别比失调等问题。怎样解决这些问题,如何调整生育政策成为目前讨论的焦点。2012年,有专家指出,我国应实施“生育自主、倡导节制、素质优先、全面开发”的新人口政策,并在2015年全面放开二胎政策。请解决以下问题:(1)建立数学模型,评估我国目前有没有必要放开二胎政策(2)建立数学模型,简述何时放开二胎政策比较合适?(3)建立数学模型,分析如何合理放开二胎政策才可以避免人口大起大落式的剧烈变动,也可避免单独二孩带来的花费时间较长、贻误时机等问题。二、问题分析问题1、对于我国目前有没有必要放开二胎政策这个问题,我们通过逆向思维、由果索因的方式来解决。假设目前有必要放开二胎政策,那么放开二胎政策的条件是什么,是什么原因导致了我国目前有必要放开二胎政策。自1978年计划生育成为中国的一项基本国策以后,我国在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变,并伴随出现了人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题。这些问题就是导致了我国目前是否有必要放开二胎政策的条件。若通过对这些条件分析最终得出结论为有必要放开二胎政策,那么假设成立;否则假设不成立,没有必要放开二胎政策。通过建立动态差分方程模型预测老龄化的人口数、劳动人口数以及总人口数。根据预测的数据画出老龄化程度的趋势图和人口红利的趋势图,最终通过分析老龄化程度、生育率高低、出生性别比例和人口红利变化得出目前有没有必要实行二胎政策。问题2、从问题1中得出我国目前有必要实行二胎政策,所以放开二胎政策的实行应该就在目前,只是不确定是什么时间。我们根据实行二胎政策会影响人口结构的变化这一方面来分析,人口结构包括出生性别比、生育率、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等。先假设二胎政策开放的时间,预测生育率、出生性别比、人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年及老年系数等数值并分析变化趋势,根据这几种变化3趋势分析对我国人口结构的影响程度,然后确定二胎政策放开的时间。由于出生性别比受经济、社会、政策多种因素的影响,用有规律的定量分析并不能预测完全,所以我们用灰色GM(1,1)模型和定性分析相结合的方法进行分析。对于生育率,根据2008-2010年各年龄阶段生育率数据绘制图图1:2008-2010年各年龄阶段生育率从图中可以看出生育模式符合偏正态分布,在概率分布中属于偏正态分布的有对数正态分布、韦伯分布、泊松分布等。这里我们选择对数正态分布和韦伯分布进行数据拟合,比较二者的拟合精度,选择最优的模型预测生育率。对于人口抚养比、老年人口抚养比和青壮年、少年、老年系数我们用第一问建立的差分方程模型进行预测。问题3、根据问题二三的结果,我们计划2015年实行二胎政策的开放。但全国各省份实际情况各不相同,所以我们对各省份二胎政策的实施选择不同的开放程度。我们选择各省人口基数和人口增长率作为评判各地区实施二胎政策的标准。利用灰色关联度计算出各省份人口基数对全国人口基数的关联度,即权重。然后根据关联度进行排名并分类,分为三类:人口基数小且人口增长率低、人口基数大且人口增长率高、介于两者之间。根据所分的类别实施不同的放开二胎政策。三、问题假设1、在预测人口模型中,假设不考虑与境外的迁入迁出问题2、假设在预测的过程中不发生人数骤减的情况43、假设生育率、死亡率和男女性别比例不随人口流动而变化4、假设查得的数据真实有效四.名词解释及符号说明人口红利:是指一个国家的劳动年龄人口占总人口比重较大,抚养率比较低,为经济发展创造了有利的人口条件,整个国家的经济成高储蓄、高投资和高增长的局面【1】。生育率:指不同时期,不同地区妇女或育龄妇女的实际生育水平或生育子女的数量【2】。人口抚养比:人口抚养比是指总人口中非劳动年龄人数与劳动年龄人数之比,以百分数表示【3】。ib--生育率id--死亡率is--生存率B--总和生育率五、模型建立及求解5.1影响因素的分析1949年建国初期,由于社会稳定,卫生条件改善,生活水平提高,以及长期缺乏对人口增长的适当控制,我国成为世界上人口最多的国家。于是1978年我国把将计划生育作为一项基本国策。20多年来在很好的控制了人口增长的同时,也同样产生了令人堪忧的问题:临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调、人口红利消失。基于预测模型的基础上,对这几方面进行分析:5.1.1生育率水平20世纪70年代初,中国政府开始大力推行计划生育,导致了我国迅速从高生育率到低生育率的转变。下图则为几年内的生育率变化:519801985199019952000200520101.41.61.822.22.42.6图2:1983-2010年生育率变化折线图根据上图可以发现我国在实施计划生育政策以来,生育率处于下降趋势,生育率几乎一直处于低生育率2.14以下的水平,特别是近几年生育率更是低于超低生育率水平1.5。然而超低生育率水平加快了我国老龄化的进程,对社会将会有极大的损害,不利于社会的发展。5.1.2出生性别比例在计划生育中的严格控制人口数量的前提下,性别选择成为人们退而求其次的选择,最终导致出生人口性别比例被“人为性”破坏失调。下图为自1949年至2012年的性别比例趋势折线图,通过折线图来具体说明我国性别比例问题。61980198519901995200020052010106108110112114116118120122124126图3:1980-2010年性别比例折线图由图可知:查阅资料得知正常性别比例在103:100左右。自1978年以来,随着以控制出生人口数量为主要内容的生育政策在全国范围内实施后,我国出生人口性别比例明显升高。1985年以来除了个别年份以外,出生人口性别比均超过了112,明显的偏离了正常的性别比值,且从总的趋势上看男女性别比值仍呈增长趋势。出生人口性别比失衡带来的婚姻挤压、性别透支和人口结构失衡等严重社会问题,给人口安全、社会稳定带来巨大隐患,影响中国人口与经济、社会、资源、环境协调和可持续发展,甚至影响民族的繁荣和社会的长治久安。5.1.3人口红利中国经济“增长奇迹”源于多种因素,“人口红利”是其中最重要的因素【5】。中国处于人口红利期时,经济取得了巨大的进步。所谓的人口红利期是指生育率迅速下降,少儿抚养比例下降,总人口中适龄劳动人口比重上升,而老年人口比例达到较高水平之前形成的一个劳动力资源相对丰富的时期。但是中国人口红利到底能持续多久或者是否已经消失,根据人口红利的定义,我们就通过用劳动人口占总人口比例的变化表示人口红利的变化,确定人口红利的变化趋势。根据上述数据可得到以下劳动人口占总人口比例年度变化的折线图:720002002200420062008201020127070.57171.57272.57373.57474.5图4:2000-2011年劳动人口占总人口比例年度变化折线图根据上图可知我国的人口红利大致一直处于增长趋势,但是在2010年出现了一个拐点,所以为了解释这个问题,我们建立差分方程模型来预测接下来几十年劳动人口占总人口比例的变化趋势,进而较精确的说明人口红利在现在及未来的发展趋势。(1)差分方程模型首先先建立差分方程模型,然后得出各年龄阶段人口的增长状况,最后求出每年年龄段在15-59岁的人口数与总的人口数,算出二者的比值,通过比值画出人口红利的变化曲线图,根据图像进行分析。将人群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组,比如每10岁或每5岁为1个年龄组。与年龄的离散化相对应,时间也离散为时段,并且时段的间隔与年龄区间大小相等,即以10年或5年为1个阶段。人口是通过女性个体的生育而增长的,所以用女性数量的变化为研究对象比较方便,下面提到的人口数量均指其中的女性。记时段k第i年龄组的人群数量(),k0,1,2,...,1,2,...ixkin,第i年龄组的生育率为ib,第i年龄组的死亡率为id,生存率为is,1iisd,我们假设ib和id不随时段k变化,在稳定的环境下这个假设是合理的。i()xk的变化规律由以下的基本事实得到:时段1k第一年龄组人口数量是时段k各年龄组生育数量之和,即81(1)(k)niiiixkbx(4)时段1k第1i年龄组的人口数量是时段k第i年龄组生存下来的数量,即1(k1)s(k),i1,2,...,n1kiixx(5)计时段k种群按年龄组的分布变量为:1234(k)[x(k),x(k),x(k),x(k)]Tx(6)由生育率ib和生存率is构成的矩阵1234123000...0...0...0bbbbsLss(7)则(4)、(5)可表为(k1)Lx(k),k0,1,2,...x(8)当矩阵L和按年龄组的初始分布向量(0)x已知时,可以预测任意时段k人群按年龄组的分布为(k)L(0),k1,2,...kxx(9)(2)模型验证由上式(9)可知只要知道t=1时的人口数据就能依
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