微分几何基础chen

微分几何基础微积分的基本定理大概地说，微分就是把曲线用它的切线来研究它的性质，知道了曲线每一点切线的性质，也就知道了曲线的总体性质。这相当于说把函数线性化。线性化后，可以加减乘除，可以计算，并得到一个数来。数学要是能得到一个数来，总是很要紧的。积分大概的说，是计算面积。微分是积分的反运算。如果xadxxfxA，则xfdxxdA。这就是微分与积分的基本关系，或叫微积分基本定理。多元微积分2维积分情形就有了区域，我们叫它，那么它的边界叫，所以积分的一个自然推广是一个2重积分。一维积分是把x分成小段，然后取小段再乘上这个函数，求一个和。在2重积分的时候，方法也是把区域分成小块，然后取每一小块的面积，在其上函数值乘上它的面积，然后求它的和。很不得了的，假使函数好的话，无论你如何圈你的区域，极限是一样的，这极限就是2重积分：dxdyyxfI,在2维的时候，甚至高维的时候，一个重要的现象是，我们现在有2个变数x,y,换变数怎么样？换变数是微积分很重要的方法，很多问题看你的变数选择是否适当，有时换变数，问题就立即简单化了。现在换变数：yxyyyxxx,,其中，yx,是另外一组坐标。我们发现一个事实，在高维的时候，微分的乘法，我们写成dydx。在多维情况下，微积分有一个巨大的进步，就是引进外代数和外微分。一维情况下，变量微分是dx，二维情况下，我们引进一个乘法dydx，并假定这个乘法是反对称的dxdydydx如果这样定义，则易得0dxdx，因为dxdxdxdx。这时的变数由dx变为dydx，因为02dxdxdx，所以就没有高次的东西了。这样得到的代数是外代数。dydx是微积分上最微妙的观点。（当一个大家说某个东西很妙时，你一定得反复地深入地去体会其中妙味！）这个代数很妙的，有一个立刻的结论，换变数公式为：ydxdyxyxdydx,,假使我们的微分是偏微分，所以ydyyxdvydyydyxxdvxdx现在用外乘法一乘，0ydydxdxd，而ydxd因为乘法是反对称的，所以是刚好乘以yxyyyxxx,,,的雅可比：yxyx,,，这个符号是雅可比，是四个偏微分所成的行列式，所以ydxdyxyxdydx,,这个刚巧是我们重积分变数的一个关系。我们知道重积分是要换变数的话，它应该乘上雅可比。所以这个结论是，对重积分的Integral可看成是外代数的多项式，那么换代数就自然对了。这里有点微妙的地方，因为通常，你要证明换变数的公式的时候，假定雅可比是正的，不然的话，乘上雅可比的绝对值，使它是正的。这个是高维几何微妙的东西，就是空间有个向（Orietation），你转的时候，有2个相反转的方向，转的时候，假使改了方向，雅可比是负值。因此我们一个结论是多重积分的Integral应该是一个外代数多项式，是dydx,的多项式，乘法是反对称，这样换变数完全可以对的，当然我只做了2维例子。高维是很明显的，同样的，外乘法是妙得很呐，是不会有高次的，所以比较简单，平方一下就是0。4．外微分格林定理说：假使你有一个区域，在边界上的积分可以变为区域上的积分。是一个一重积分和二重积分的关系，这个关系很重要。DdxdyyAxBBdyAdx上面公式，形式上是把一个一次微分式变为2次微分式。对微分符号，不要太在意它的意义，只管它的形式。你可以把它当成x一样处理，如dydx可以看成是一个微分多项式，就象yx，没什么特殊性。当然也可以对它们组成的多项式再微分，如dydxBdxdyAdydBdxdABdyAdxdxy叫外微分（Exteriordifferentialealculus）。外微分很简单，假设有BdyAdx，它的微分就是微分它的系数，也就是微分函数。A与B是x,y的函数，所以就微分A，B。A的微分就是dyAdxAyx，B的微分就是dyBdxByx，可是dydxBdydyBdydxBdydyBdxBdxdyAdxdyAdxdxAdxdyAdxAxyxyxyyxyx因为：dydxdxdy所以：dxdyABdydxBdxdyABdyAdxdyxxy所以，格林公式表达的实际上是外微分。由此可以看出，外微分是很妙的东西，因此你可以把积分号丢掉，就说我们拿dydx,造一个外代数，对这个外代数有个外微分。外微分很简单，就是假使微分各项的时候，其实是对每项系数微分，结果我得到一个多项式，这个多项式的次数高一个。作为函数就变为一次微分式了，所以次数高一次，因此原来k次的话，得到一个k+1次的微分式。格林公式把曲线微分的微分式变为区域微分式，一重积分变为二重微分。因为这里有一个外代数，所以把这个微分式乘起来，用一个外乘法。把k次的外微分式变为k+1次的微分式，这样实际把这个外微分式中间给了一个新的结构，可以微分，这个微分跟普通微分不一样，它是把k次变为k+1次。这个外微分有个奇怪的现象，就是用两次以后等于0。02d证明这一点，对任何一个k次微分式，微分一次变为k+1次，微分两次变为k+2次微分式，它一定是0。D是一个外微分，是对外代数的多项式的一个运算，这个运算运用两次就等于0了，这是一个了不得的关系。因为几何上讲，假使你有一个区域，你取这个区域的边界，再取这个区域的边界，就没有边界了。如你取的边界是整个球，再取这个边界的边界，没有了。这个几何性质跟外微分的性质是对偶的。求两次边界一定等于0，这是几何性质，求外微分两次等于0，是个分析的性质。这两具东西不是两个互不相关的东西，是完全对偶的。这是一个了不得的几何关系，了不得的数学上的关系，妙得不得了，因为求边界是一个几何问题，更是一个整体问题，一定要拿整个区域乘上边界。但是，求外微分是个分析问题，是个局部问题，要外微分只要知道这个微分式在一点附近的性质就有了。这一个局部的运算跟一个整体的运算有这样对偶的关系是很难得的事情，是一个重要的几何现象，是重要的数学现象。为什么对偶呢？其实这就是格林定理的推广，就是Stokes定理：假使有一个区域，把它封闭上，k是这样一个k维区域，所以它的边界就是边界k，那么假使有一个微分式叫，它的次数是k-1,于是我们就有这么一个关系：在边界的积分等于d在k的积分kkd这个定理重要极了。它把两个普通的运算，一个是等于区域的边界运算，一个是等于外微分的积分，这两个有简单的关系。假如我们把外微分的积分写成这个关系：d,,这个外微分成矢量空间，可以加减，这个区域也是另外一个矢量空间，也可以加减。假如这两个矢量空间经过积分，因此就有一个所谓的“对”（pair），这个矢量空间的一点和那个矢量空间的一点连在一起是等到一个正数，得到一个数，那么Stokes定理就是说这个paring使得对的作用的算子与外微分算子d是伴随的（adjoint），是对偶的“对”，这就是Stokes定理的意义。从它我们可以得出普通微积分的基本定理。因为设k=1，那么我们的区域是一个线段，从a到b的线段，这个线段是，它的边界呢，是b点减a点，是一个函数，d是个积分，在一维情况下就是用到直线上，因此一维情况下，是个线段，边界是b-a，是一个函数f，d是df，于是：badfafbfdffab,,即函数在b点的值减去a点的值等于df在这个线段上的积分。这个就是所谓的微积分基本定理。有一个公式容易证明，就是你把两个外微分的式子与相乘，再求这个积的外微分：ddddeg1假设有一个运算，它的平方等于0，这是很不得了的，这时就可以造一个除法，有个商（quotient）。这样得到一个除法，现在叫同调（homology）。现在许多数学的发展都有这个运算，加两次等于0，你就能造出一个quotient。什么是quotient的呢？就是你把所有的满足0d的，被所有d来除，即：dd/0如果d，因为02d，所以0d，因此你取所有的所谓的闭形式（closeform），被可以写成d什么的东西来除，就得到在数学里用一个唬人的名字叫homology，也就是取所有的k次微分式，它们是封闭的（被d作用为0），被所有的d来除，造一个商结构，这个商结构就叫homology[ho'mɑlədʒɪ]。你可以用到这个d，也可以用的是的边界，用到边界的homology叫上同调（cohomology）。这个很厉害，假如你有一个流形，它是紧致的，它的cohomologyform是有限维的，这个有限维的维数叫这个空间的Betti数。第二讲指数与对数函数复数不只是使任一个方程式有解，并且利用复数，很多数学问题来的简单。复变函数比实变函数简单多了。积分有一个积分的区域，在这个区域里积分，还有一个算子，算子讨论我们积的是什么东西，或者积的函数是什么。这里讨论的算子是外微分，外微分就是dx,dy这些微分乘起来，不过这个乘法是反对称的。反对称妙极了，因为反对称后，一个dx不能存在两次。即02dx。以dx为变量，可以构造一个多项式，这个多项式乘法是反对称，这种反对称乘法的多项式叫外微分式，外微分式就是指积分一个对象。在一个区域里积这个外微分，这也可以看作一种配偶（pair），有一个区域，再有一个积分和，放在一起，积分有一个值，这个值是一个数，这两个是配合的结果，有了这个多重积分的观念后，多变数的微积分基本定理，就是所谓的stokes定理。该定理是一个几何现象与一个分析现象联合的结果。区域有边界的观念是代数拓扑一个基本概念，你要研究的边界关系，一个深刻的研究就引到所谓（下）同调群，同调群是代数拓扑研究空间性质的最基本的一个观念。k是一个k维区域，它的边界就是，另外有一个1k维外微分式，微分以后d为k次，stokes定理说：d在k上积分等于在的积分，即：d上面讲过，一维情况，相当于微积分基本定理，2维情况呢？就是有名的Green定理：QdyPdxdxdyQPyx2维情形，区域是2维的，边界是曲线。整个情况在高维时，有一个基本性质，就是外微分d用两次一定等于0。即如果是一个外微分式，那么0dd这个方程非常容易证明。对于，外微分式是线性的，所以你只需要把当成一个单项来证明就行了，这是因为你每一项的2d都等于0，于是对于单项的尾部，单项是一组d乘上一个函数。显然，只要证明一个函数用两次d，它一定等于0就可以了。在一个n维的空间中，它的坐标是nxx,,1，有一个函数f是ix的函数，d一次的话，就是普通偏微分，也就是iidxxf再微分一次，等到二级偏微分ijf，再乘ijdxdx，这个二阶偏微分ijf是对称的，这是因为求偏微分与次序无关。因此这个系数是对称的，而我们这两个jidxdx,是乘法反对称的，显然两次微分后就等于0了。即：0ijijiidxdxfdxfddfd这里，因为固定了i与j，就得到jiijdfdf，因为f对这个指标是对称的，所以为0。Stokes定理可以说区域与外微分是一个对偶，使求边界与算这个d这两种运算是对偶的算子。这是个了不得的结果。因为求边界，是一个几何运算，是整个区域的一个性质，而求外微分是一个局部的，分析的运算，是完全局部的，只与这一点的附近有关系。一个是整体的几何算子，一个是局域的分析算子，它们是对偶的。空间不一定是普通的Euclid空间，也许空间拿x做坐标为所谓的流形，假设空间是一个流形的话，也可以讨论它的外微分式，例如k次的外微分式，于是所有的k次的外微分式成为一个我们所谓的矢量空间，在其中进行加减。现在我就讨论所有d=0的这种外微分式，