2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题6 第19讲 排列、组合与二项式定理

第19讲排列、组合与二项式定理第20讲概率与统计专题六排列、组合与二项式定理、概率与统计专题六排列、组合与二项式定理、概率与统计知识网络构建专题六│知识网络构建考情分析预测专题六│考情分析预测考向预测排列、组合与二项式定理在高中数学所占的比重不大，但它们是高等数学的基础，能够很好地考查学生分析问题的能力，因此一直是高考的必考内容，一般在高考中以选择、填空题的形式出现，概率与统计主要考查的内容有：等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验恰好发生k次的概率及离散型随机变量的分布列、期望与方差等；统计知识则主要考查抽样方法、频率分布直方图、正态分布等，主要以选择、填空题的形式出现，在高考中所占的比重大于10%，一般会有一道选择题或填空题与一道解答题．预计2012年高考对本部分知识的考查仍会延续往年的命题风格，主要考查以下几点：专题六│考情分析预测(1)排列、组合数的计算及排列、组合的综合应用．如：数字问题、人或物的排列问题、集合的子集个数问题、几何问题、选代表或选择样品问题等．(2)二项式定理的应用，命题热点为：求展开式中字母系数、常数项、有理项等．(3)对概率的考查重点为等可能性事件、相互独立事件和独立重复试验等．(4)对统计方法的考查，如利用分层抽样方法计算有关数据，或者利用频率分布直方图进行数据分析，对某一现象进行总体估计等问题将成为命题热点．(5)考查离散型随机变量的期望与方差，预计仍会与求ξ的分布列一同命题．(6)对正态分布的考查，命题热点是正态分布的特点以及根据正态分布的特点进行有关的概率计算，如已知正态分布变量在某个区间上的概率求其在另一区间上的概率等．专题六│考情分析预测备考策略二轮复习时，以下几个方面是重中之重：(1)对于排列、组合知识的复习备考，主要是理解分类计数原理和分步计数原理的思想，掌握常见的排列组合问题的基本题型和求解方法，基本题型如相邻问题与相隔问题、几何问题与涂色问题等，求解方法如“捆绑法”、“插空法”等．(2)对于二项式定理，主要是利用通项公式求展开式的特定项、研究二项展开式的系数及相关计算等．(3)对于随机事件的概率问题，复习时以理解基本题型为主，并注意与其他知识的综合，如等可能性事件概率的求解，常常与排列、组合知识以及互斥事件、对立事件形成联系．(4)对于抽样方法、频率分布直方图的复习，主要是读懂命题给出的数据，并结合数据进行分析，如对总体进行估计等；正态分布问题，理解图形的对称性是解答已知正态分布变量在某个区间上的概率求其在另一区间上概率的主要方法．(5)离散型随机变量的期望与方差问题，高考主要是考查实际应用问题，一般应先分析题意，明确欲求解的问题是期望还是方差，在此基础上将题中考查的数量指标用随机变量表示出来，把实际问题转化成随机变量的期望与方差问题求解．专题六│近年高考纵览第19讲排列、组合与二项式定理第19讲排列、组合与二项式定理主干知识整合第19讲│主干知识整合1．排列、组合(1)对排列与组合定义的理解：排列的定义包含两个基本内容，一是“取出不同元素”；二是“按照一定顺序”，其中“一定顺序”表示与位置有关，这里的位置应该由具体问题的性质和条件来决定．组合的定义也包含两个基本内容，一是“取出元素”；二是“并成一组”，其中“并成一组”表示与顺序无关．(2)求解排列、组合的应用题，要善于“分析”“分辨”“分类”“分步”，从多角度考虑．①“分析”就是找出题目的条件、结论，找准解决问题的切入点：是从位置考虑还是从元素考虑；是从正面考虑还是从问题的对立面考虑．第19讲│主干知识整合②“分辨”就是辨别是排列(与顺序有关)还是组合(与顺序无关)，对某些元素的位置有无限制等．③“分类”就是把较复杂的应用问题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决(这时常用分类计数原理)，要注意“类”与“类”之间的不重不漏．④“分步”就是将问题分为互相联系的几步，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决(这时常用分步计数原理)，要注意“步”与“步”之间的独立性、连续性．整个解题过程遵循的基本原则是：“特殊优先”的原则，先“分类”后“分步”的原则，先“取”后“排”的原则．第19讲│主干知识整合2．二项式定理(1)二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值(既然对任意的实数a，b都成立，那么特殊的实数也一定成立，根据需要对a，b赋值)．可以利用二项式定理解决一些特殊问题，如求所有项的系数和等．(2)运用通项公式求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出r，再求所需要的某项；有时需要先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．例1[2011·北京卷]用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)要点热点探究第19讲│要点热点探究►探究点一有限制条件的排列、组合问题【分析】先不考虑限制条件进行排列，然后再除去不符合要求的排列数．14【解析】若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16(个)四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14(个)满足要求的四位数．【点评】本题考查排列的基本知识及间接思考问题的解题方法，本题涉及“至多”、“至少”情形，可以考虑用间接法去解决．一般地，对于排列组合问题的求解，主要是审题，弄清是排列问题还是组合问题，可以按元素的性质分类，按事件发生的过程分步．对于有限制条件的问题，关键是理解关键字眼，如“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”，“至多”与“至少”等，常用方法有“先排特殊元素或特殊位置”“捆绑法”“插空法”等．第19讲│要点热点探究第19讲│要点热点探究(1)一个五位的自然数abcde，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e(如12430,13531等)时称为“凸”数，则所有的五位数中“凸”数的个数是()A．8568B．2142C．2139D．1134(2)世博会期间，某班有四名同学参加了志愿者工作．将这四名同学分到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人，若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A．36种B．30种C．24种D．20种(1)B(2)C【解析】(1)当c＝3时，a＝1，b＝2，a，b的取法只有C22种；d，e∈{2,1,0}，有C23种取法，∴满足条件的取法有C22C23＝3(种)．同理，当c＝4时，满足条件的取法有C23C24＝18(种)；当c＝5时，满足条件的取法有C24C25＝60(种)；…，∴所有的五位数中“凸”数的个数是C22C23＋C23C24＋C24C25＋C25C26＋C26C27＋C27C28＋C28C29＝3＋18＋60＋150＋315＋588＋1008＝2142(种)．(2)甲有两种选择，剩下的3个人可以每个展馆都分一人，也可以在其他两个展馆中一个展馆分两人，一个展馆分一人，所以不同的分配方案有C12(A33＋C23C12)＝24(种)．第19讲│要点热点探究第19讲│要点热点探究►探究点二几何图形（或几何体）中的排列、组合问题例2[2011·湖北卷]给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图19－1所示：图19－1由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种(结果用数值表示)．第19讲│要点热点探究【分析】理解题设条件中的着色方案，从特例中寻找染色的规则．2143【解析】(1)以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形，则有C34＝4(种)；②若有2块黑色正方形，则有C25＝10(种)；③若有1块黑色正方形，则有C16＝6(种)；④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21(种)．(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻，有(C23＋C13)＋A24＋C15＝23(种)；②有3块黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12(种)；③有4块黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5(种)；④有5块黑色正方形相邻，有C12＝2(种)；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43(种)．第19讲│要点热点探究【点评】本题以涂色问题为背景，考查学生的创新能力．涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合知识灵活处理．其难点是对相邻区域颜色不同的处理，破解的方法是根据乘法原理逐块涂色，同时考虑所用颜色的数目．第19讲│要点热点探究如图19－2，一个地区分为5个行政区域，现给它们着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．图19－2第19讲│要点热点探究72【解析】依题意，就这5个行政区域实际使用的颜色种数进行分类计数：第一类，当这5个行政区域实际使用的颜色种数是3时，满足题意的着色方法共有C34·A33＝24(种)(注：C34表示从所提供的4种颜色中选定3种颜色的方法数；A33表示将所选定的3种颜色在相邻的3个区域进行实际着色的方法数，当这3个相邻区域的颜色确定后，另2个区域的颜色随之而定)；第二类，当这5个行政区域实际使用的颜色种数是4时，满足题意的着色方法共有C34·A33·2＝48(种)．综上可得，满足题意的方法共有24＋48＝72(种)．第19讲│要点热点探究►探究点三二项式定理中的通项公式例3[2011·山东卷]若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．【分析】根据二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于零，即得对应的常数项．4【解析】Tr＋1＝Cr6x6－r－ax2r＝Cr6x6－r(－1)rar2x－2r＝Cr6x6－3r(－1)rar2，由6－3r＝0，得r＝2,所以C26a＝60，所以a＝4.【点评】本题考查二项展开式的特定项——常数项．求二项展开式的特定项或特定项的系数是高考考查二项式定理的主要题型之一，解决这类问题的主要方法是用好二项展开式的通项公式和方程思想．第19讲│要点热点探究(1)x－1x5的展开式中含x3的项的系数为________．(2)若二项式3tan2x＋1tan2xn的展开式的第四项是209，而第三项的二项式系数是15，则x的取值为()A.kπ3(k∈Z)B．kπ－π3(k∈Z)C．kπ＋π3(k∈Z)D．kπ±π3(k∈Z)第19讲│要点热点探究(1)－5(2)D【解析】(1)由二项展开式的通项公式，得Tr＋1＝Cr5x5－r－1xr＝Cr5(－1)rx5－2r.依题意，令5－2r＝3，则r＝1，故含x3的项的系数为－C15＝－5.(2)由展开式的第三项的二项式系数是15，得C2n＝15，即n2－n－30＝0，求得n＝6.又由展开式的第四项是209，得C363tan2x3·1tan2x3＝209，即tanx＝±3，∴x＝kπ±π3(k∈Z)．第19讲│要点热点探究例4[2011·课标全国卷]x＋ax2x－1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40【分析】首先令x＝1得展开式系数之和，据此求出参数a的值，再由通项公式求指定的常数项．D【解析】令x＝1得各项系数和为1＋a1(2－1)5＝(1＋a)＝2,∴a＝1，所以原式变为x＋1x2x－1x5，2x－1x5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)r－1x