2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题11 平面向量的坐标运算及数量积

专题十一平面向量的坐标运算及数量积专题十一平面向量的坐标运算及数量积主干知识整合专题十一│主干知识整合1．平面向量的数量积a·b＝|a||b|cosθ.2．平面向量的坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘λa＝(λx1，λy1)向量共线a∥b⇔x1y2－x2y1＝0距离公式|AB→|＝x1－x22＋y1－y22数量积a·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝x21＋y21垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0专题十一│主干知识整合3.核心问题(1)有关数量积的基本运算．(2)有关数量积的定值和最值问题．(3)用三角函数研究与向量有关的问题．要点热点探究专题十一│要点热点探究►探究点一平面向量的数量积基本运算平面向量的数量积的基本运算主要包含以下几个方面：一是用定义法或坐标法求解数量积；二是求解向量的模；三是求解向量的夹角．例1(1)设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0αβπ，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝________.(2)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，O为△ABC外接圆的圆心，则AO→·BC→＝________.专题十一│要点热点探究(1)π2(2)32【解析】(1)方法一：由|2a＋b|＝|a－2b|得3a2＋8a·b－3b2＝0，即a·b＝0，从而cos(β－α)＝0.又0αβπ，故0β－απ，所以β－α＝π2.方法二：如图所示，设向量a、b分别对应于OA→、OB→，OC→，OD→对应于2a、2b，则2a＋b，a－2b对应于向量OE→，DA→，由于△OBC≌△OAD，故|DA→|＝|BC→|，从而由题意得|OE→|＝|BC→|，故四边形OCEB为矩形，从而β－α＝π2.专题十一│要点热点探究(2)方法一：AO→·BC→＝AO→·(OC→－OB→)＝AO→·OC→－AO→·OB→，又|AB→|＝|OB→－OA→|，|AC→|＝|OC→－OA→|，所以|OB→－OA→|2＝OB→2－2OB→·OA→＋OA→2＝1，|OC→－OA→|2＝OC→2－2OC→·OA→＋OA→2＝4，即AO→·OC→－AO→·OB→＝32，故AO→·BC→＝32.方法二：过O作OD垂直于BC，垂足为D，因为O是三角形ABC的外接圆圆心，所以D为线段BC的中点，所以AO→＝AD→＋DO→，则AO→·BC→＝(AD→＋DO→)·BC→＝AD→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12|AC→|2－12|AB→|2＝32.专题十一│要点热点探究【点评】(1)向量夹角的研究方法有二：一是用向量的数量积公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|；二是用几何图形将角放置到多边形中研究．(2)本题的方法一是将所给向量之间的关系直接转化为OA→，OB→，OC→之间的关系，方法二是利用了外接圆的几何性质将AO→，BC→转化为用基底向量AB→，AC→表示．专题十一│要点热点探究等边三角形ABC中，P在线段AB上，且AP→＝λAB→，若CP→·AB→＝PA→·PB→，则实数λ的值是________．1－22【解析】P在线段AB上，所以0≤λ≤1，不妨设等边三角形ABC边长为1，∵CP→·AB→＝PA→·PB→，∴(CA→＋AP→)·AB→＝PA→·(AB→－AP→)，从而有CA→·AB→＋AP→·AB→＝PA→·AB→－PA→·AP→，∴－12＋2λ＝λ2，解得λ＝1±22.又0≤λ≤1，∴λ＝1－22.专题十一│要点热点探究►探究点二平面向量的数量积最值问题与动点有关的向量数量积问题中最常见的问题是求动点构造的向量的数量积的最值问题，此类问题一般需要建立与数量积有关的函数，通过函数求最值．例2如图11－1放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上(含原点)上滑动，则OB→·OC→的最大值是________．图11－1专题十一│要点热点探究2【解析】设∠OAD＝θ，则OA＝AD·cosθ＝cosθ，点B的坐标为(cosθ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))，即B(cosθ＋sinθ，cosθ)，同理可求得C(sinθ，sinθ＋cosθ)，所以OB→·OC→＝(cosθ＋sinθ，cosθ)·(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋sin2θ，所以(OB→·OC→)max＝2.专题十一│要点热点探究【点评】本题中A，D两点在移动，并且将这两点的动态特征用三角函数表示，并由此三角函数求出B，C两点的坐标，从而用三角函数求解其最值．专题十一│要点热点探究已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→·PB→的最小值为________．－3＋22【解析】如图所示：设PA＝PB＝x(x0)，∠APO＝α，则∠APB＝2α，PO＝1＋x2，sinα＝11＋x2，PA→·PB→＝|PA→|·|PB→|cos2α＝x2(1－2sin2α)＝x2x2－1x2＋1＝x4－x2x2＋1，设PA→·PB→＝y，则y＝x4－x2x2＋1，即x4－(1＋y)x2－y＝0，由x2是实数，所以Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)≥0，y2＋6y＋1≥0，解得y≤－3－22或y≥－3＋22.故(PA→·PB→)min＝－3＋22.此时x＝2－1.专题十一│要点热点探究►探究点三用三角函数研究向量中的参数取值范围问题在用坐标研究向量问题时，涉及参数取值范围时，建立参数与坐标之间的函数关系较为困难或建立后没有办法研究时，可以用对应的三角函数值表示向量的坐标，再建立参数与三角函数的关系，也是研究问题的一个途径．例3如图11－2，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC→＝λDE→＋μAP→，则λ＋μ的最小值为____________．图11－2专题十一│要点热点探究12【解析】以A为原点，AB→为x轴正方向，AD→为y轴正方向，建立直角坐标系．设P(cosθ，sinθ)，θ∈0，π2，因为AC→＝(1,1)，DE→＝12，－1，AP→＝(cosθ，sinθ)，由题意得：1＝12λ＋μcosθ，1＝－λ＋μsinθ，解得μ＝32cosθ＋sinθ.又λ＝μsinθ－1，所以λ＋μ＝μ(sinθ＋1)－1＝31＋sinθ2cosθ＋sinθ－1.专题十一│要点热点探究设y＝1＋sinθ2cosθ＋sinθ，则y′＝cosθ2cosθ＋sinθ－1＋sinθcosθ－2sinθ2cosθ＋sinθ2＝2＋2sinθ－cosθ2cosθ＋sinθ2，设φ(θ)＝2＋2sinθ－cosθ，所以φ′(θ)＝2cosθ＋sinθ，因为θ∈0，π2，所以φ′(θ)＝2cosθ＋sinθ≥0，即φ(θ)＝2＋2sinθ－cosθ在0，π2递增，则φ(θ)∈[1,4]，所以y′＝2＋2sinθ－cosθ2cosθ＋sinθ20，即y＝1＋sinθ2cosθ＋sinθ在0，π2递增，所以(λ＋μ)min＝12.专题十一│要点热点探究【点评】本题比较困难的是想到将点P坐标设为三角函数，从而引入三角函数来表示参数λ，μ之间的关系，本题的第二个难点就是对所得函数的进行一步研究比较困难，其中对于式子2＋2sinθ－cosθ2cosθ＋sinθ2的正负研究，需要进行再一次的求导．专题十一│要点热点探究平面内两个非零向量α，β，满足|β|＝1，且α与β－α夹角为135°，则|α|的取值范围________．0，2【解析】如图所示，在△OAB中，设∠OBA＝θ，所以OBsin45°＝OAsinθ，即|a|＝OA＝2sinθ，又θ∈0，34π，故|a|∈(0，2]．规律技巧提炼专题十一│规律技巧提炼1．向量的数量积问题主要涉及向量的模、夹角、坐标这三个基本方面，有关向量数量积的运算都是这三个方面的运算．2．研究向量，一般有两个途径，一是建立直角坐标用坐标研究向量间的问题，二是用基底向量来研究．3．与向量数量积有关的最值或参数的取值范围，可以建立与点坐标有关的函数或三角函数来研究，也可以考虑其几何意义，从几何角度来研究．专题十一│江苏真题剖析江苏真题剖析例[2010·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB→－tOC→)·OC→＝0，求t的值．【分析】本题中的向量问题，主要是给出几何条件如第一小问给出了平行四边形的条件，第二小问数量积的几何特征．在向量的数量积的运算考查中一般有两种一是坐标考查；二是定义考查．【解答】(1)法1：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为B、C的中点(0,1)，又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)．两条对角线的长分别为BC＝42、AD＝210.法2：由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)．所以|AB→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题意知：AB→·OC→＝tOC→2，AB→＝(3,5)，t＝AB→·OC→|OC→|2＝－115.专题十一│江苏真题剖析在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值．专题十一│江苏真题剖析【解答】x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，由z∥(x＋y)，得cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0，即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC.所以sinBcosC＋cosBsinCcosBcosC＝tanB＋tanC＝－2.专题十一│江苏真题剖析