2012届高考数学二轮复习精品课件(江苏专用)专题7 实际应用问题

专题七实际应用问题专题七实际应用问题主干知识整合专题七│主干知识整合1．求解应用题的一般思路和步骤(四步法)(1)读题：读懂和深刻理解题意，译为数学符号和语言，找出主要关系．(2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题．(3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法计算和求解．(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．专题七│主干知识整合2．解决一个应用题，重点过三关(1)阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．(2)建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．(3)数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．3．函数应用题常见问题最(极)值等优化问题：实际工农业生产、建设及实际生活中的“优选”“控制”等问题，常需建立“函数方程不等式模型”转化为求函数的最值问题．要点热点探究专题七│要点热点探究►探究点一基本初等函数模型的应用基本初等函数模型指的是一次、二次、三次函数和指数、对数函数模型的运用．例1某公司生产某种消防安全产品，年产量x台(0≤x≤100，x∈N)时，销售收入函数R(x)＝3000x－20x2(单位：百元)，其成本函数满足C(x)＝500x＋b(单位：百元)．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000(百元)．(1)求利润函数P(x)；(2)问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？(3)在经济学中，对于函数f(x)，我们把函数f(x＋1)－f(x)称为函数f(x)的边际函数，记作Mf(x)．对于(1)求得的利润函数P(x)，求边际函数MP(x)；并利用边际函数MP(x)的性质解释公司生产利润情况．(本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等)专题七│要点热点探究【解答】(1)由题意，x＝0，b＝4000，所以C(x)＝500x＋4000.P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－500x－4000＝－20x2＋2500x－4000,0≤x≤100，x∈N.(2)P(x)＝－20x－12522＋74125(0≤x≤100，x∈N)，所以当x＝62或x＝63时，P(x)max＝P(62)＝P(63)＝74120(百元)．(3)MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－40x＋2480(0≤x≤99，x∈N)；边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当x＝0时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当x＝62时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大．专题七│要点热点探究【点评】本题的难度不在于函数模型的建立，而是对边际函数的实际意义的理解，这里需要弄清题干所给信息“函数f(x＋1)－f(x)称为函数f(x)的边际函数”的含义为利润增长的函数．专题七│要点热点探究►探究点二导数应用于函数实际问题导数应用于函数的实际问题主要指的是建好函数模型后，由于所得函数模型较为复杂，需要用导数研究该函数的单调性、极值以及最值．例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．专题七│要点热点探究例2广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得的加工费近似地为12ln(2x＋1)万美元．受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数(m∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f(x)＝12ln(2x＋1)－mx(万美元)．(1)若某时期美元贬值指数m＝1200，为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应在什么范围内？(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为120x万美元，已知该企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．专题七│要点热点探究【解答】(1)由已知m＝1200，f(x)＝12ln(2x＋1)－x200，其中x0.∴f′(x)＝12x＋1－1200＝199－2x2002x＋1.由f′(x)0，即199－2x0，解得0x99.5，即加工产品订单金额x∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x的增加而增加．(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10,20]时，都有12ln(2x＋1)－mx≥120x.由12ln(2x＋1)－mx≥120x得120＋m≤ln2x＋12x.令g(x)＝ln2x＋12x，x∈[10,20]，专题七│要点热点探究则g′(x)＝22x＋1·x－ln2x＋12x2＝2x－2x＋1ln2x＋12x22x＋1.令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)，则h′(x)＝2－2ln2x＋1＋2x＋122x＋1＝－2ln(2x＋1)0，可知h(x)在[10,20]上单调递减，从而h(20)≤h(x)≤h(10)．又h(10)＝20－21ln2121(1－ln21)0，即x∈[10,20]时，可知g(x)在[10,20]上单调递减，因此g(x)min＝ln4140，即m≤ln4140－120.故当美元的贬值指数m∈0，ln41－240时，该企业加工生产不会亏损．专题七│要点热点探究►探究点三函数与不等式的综合模型函数的应用题除了研究最值问题也会出现与不等关系有关联的问题的研究，这类问题在处理时需要用学过的不等关系的知识将文字语言转化为数学语言．专题七│要点热点探究例3因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y＝a·f(x)，其中f(x)＝168－x－10≤x≤4，5－12x4x≤10.若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．专题七│要点热点探究【解答】(1)因为a＝4，所以y＝648－x－40≤x≤4，20－2x4x≤10.则当0≤x≤4时，由648－x－4≥4，解得0≤x8，所以此时0≤x≤4.当4x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此时4x≤8，综合，得0≤x≤8，即若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达8天．(2)当6≤x≤10时，y＝2×5－12x＋a168－x－6－1＝10－x＋16a14－x－a＝(14－x)＋16a14－x－a－4，因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4a∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4a时，y有最小值为8a－a－4，由8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值为24－162≈1.6.专题七│要点热点探究【点评】本题所涉及的函数模型为较简单的分段函数，但有效治污的理解易发生偏差．第(2)小问中6天后再投放的研究也是本题难点．规律技巧提炼专题七│规律技巧提炼1．函数模型的应用题主要涉及三个方面：(1)用定义等初等方法研究函数的性质；(2)用导数研究函数的性质；(3)函数与不等式或数列等外部知识综合问题．2．函数实际问题在进行研究时一般会碰到以下几个难点：(1)应用题题干的理解；(2)建好函数模型后，研究函数性质容易出错；(3)函数应用题的数值大，易出现计算失误．专题七│江苏真题剖析江苏真题剖析例[2011·江苏卷]请你设计一个包装盒，如图7－1所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．图7－1【分析】本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力．专题七│江苏真题剖析【解答】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝22(－x3＋30x2)，V′＝62x(20－x)，由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.如图7－2，在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子的体积最大？并求最大体积．图7－2专题七│江苏真题剖析【解答】(1)连结OC.设BC＝x，矩形ABCD的面积为S.则AB＝2900－x2，其中0x30.所以S＝2x900－x2＝2x2900－x2≤x2＋(900－x2)＝900.当且仅当x2＝900－x2，即x＝152时，S取最大值为900.所以当取BC为152cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2.专题七│江苏真题剖析专题七│江苏真题剖析(2)设圆柱底面半径为r，高为x，体积为V.由AB＝2900－x2＝2πr，得r＝900－x2π，所以V＝πr2h＝1π(900x－x3)，其中0x30.令V′＝1π(900－3x2)＝0，得x＝103，由此V＝1π(900x－x3)在(0,103)上是增函数，在(103，30)上是减函数．所以当x＝103时，V的最大值为60003π.所以取BC为103cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为60003πcm3.