2012年高三二轮专题复习解析几何___第2讲

第2讲椭圆、双曲线、抛物线【高考真题感悟】若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．解析由题意可得切点A(1,0)．切点B(m，n)满足n－12m－1＝－mn，m2＋n2＝1，解得B(35，45)．∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为x25＋y24＝1.答案x25＋y24＝1考题分析本题考查了椭圆的标准方程及简单性质、圆的切线问题．题目综合考查了椭圆和圆这两个热点问题，具有一定的综合性．题目难度中档，代表了高考对这部分内容的考查方向．易错提醒(1)不能正确地将问题转化．如：求椭圆方程，关键是转化为求直线AB的方程．(2)切点A、B的坐标易求错．(3)不会借用图形进行分析．主干知识梳理圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2＝2px(p0)图形范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(p2，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率E＝ca＝1－b2a2(0e1)e＝ca＝1＋b2a2(e1)e＝1准线x＝－p2几何性质渐近线y＝±bax热点分类突破题型一有关圆锥曲线的定义问题例1已知P为椭圆x24＋y2＝1和双曲线x2－y22＝1的一个交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余弦值为________．思维启迪双曲线的焦点与椭圆焦点相同→用椭圆、双曲线的定义→标出|PF1|、|PF2|→用余弦定理．解析由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它们的公共焦点，不妨设|PF1||PF2|，则|PF1|＋|PF2|＝4|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3|PF2|＝1.又|F1F2|＝23，由余弦定理可知cos∠F1PF2＝－13.答案－13探究提高圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2||F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2|||F1F2|.题型二有关圆锥曲线的性质问题例2(2011·浙江)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2解析由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝5×2a4－5a25a2－5＝23a，解得a2＝112，b2＝12.答案C探究提高椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线方程以及抛物线的方程、准线都是高考的热点．在解题时，要充分利用条件，构造方程，运用待定系数法求解．题型三求曲线方程问题例3已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，|OP||OM|＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．思维启迪(1)椭圆方程中的基本参数a、c的关系a＋c＝7，a－c＝1.(2)坐标转移法．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，所以椭圆C的方程为x216＋y27＝1.(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P在椭圆C上可得9x2＋11216(x2＋y2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．①当λ＝34时，化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)．轨迹是两条平行于x轴的线段．②当λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，其中x∈[－4,4]．当0λ34时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分；当34λ1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．探究提高(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解．(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，即应注意字母的取值范围．规律方法总结1．求圆锥曲线标准方程常用的方法(1)定义法(2)待定系数法①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2m＋y2n＝1(m0，n0)．双曲线方程可设为x2m－y2n＝1(mn0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算．2．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等．名师押题我来做1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点F1，F2，M为双曲线上一点，且满足∠F1MF2＝90°，点M到x轴的距离为72，若△F1MF2的面积为14，则双曲线的渐近线方程为____________．押题依据对于圆锥曲线，定义是非常重要的，高考中常以小题的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质．本题突出定义，同时又考查了勾股定理等，方法也比较灵活，故押此题．押题级别★★★★解析由题意，得12·2c·72＝14，所以c＝4.又||MF1|－|MF2||＝2a，|MF1|2＋|MF2|2＝82，12·|MF1|·|MF2|＝14.所以a＝2，b＝14.所以渐近线方程为y＝±7x.答案y＝±7x2．已知离心率为45的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上有一点M到椭圆两焦点的距离之和为10.以椭圆C的右焦点F(c,0)为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT(T为切点)，且点P满足|PT|＝|PB|(B为椭圆C的上顶点)．(1)求椭圆C的方程；(2)求点P所在的直线l的方程．押题依据椭圆的方程、几何性质是解析几何的重要内容，是高考的热点问题．通常的考查方式为椭圆与直线综合、椭圆与向量综合等．本题突出考查了椭圆的几何性质、直线方程、圆等重要知识点，故押此题．押题级别★★★★解(1)依题意有：a2－b2＝c245＝ca2a＝10，解得a＝5b＝3c＝4，所以椭圆C的方程为x225＋y29＝1.(2)设点P(x，y)．由(1)得F(4,0)，所以圆F的方程为：(x－4)2＋y2＝9.因为PT为圆F的一条切线，则△PTF为直角三角形，所以|PT|2＝|PF|2－r2＝(x－4)2＋y2－9.又|PB|2＝x2＋(y－3)2，所以(x－4)2＋y2－9＝x2＋(y－3)2，化简得，直线l的方程为4x－3y＋1＝0.返回