中考数学复习-函数

中考总复习十三：函数及其图象一、知识网络：二、考试目标要求：1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.函数(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义；(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例；(3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；(4)能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值；(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；(6)结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测.3.一次函数(1)结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式；(2)会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx＋b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时，图象的变化情况)；(3)理解正比例函数；(4)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；(5)能用一次函数解决实际问题.4.反比例函数(1)结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式；(2)能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解其性质(k0或k0时，图象的变化)；(3)能用反比例函数解决某些实际问题.5.二次函数(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；(2)会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；(3)会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.三、复习策略复习本专题首先应以平面直角坐标系入手，掌握好点与象限的位置关系，以及对称点，特殊位置点的坐标关系；运用数形结合思想了解函数图象的性质；运用方程(组)的思想、待定系数法求函数解析式；同时要善于构建函数模型解决一类与函数性质有关的应用型问题；能从多方面思考解决一类以函数为基础的中考压轴综合型试题．四、知识考点梳理知识点一：平面直角坐标系、函数的概念1．位置的确定及平面直角坐标系的概念(1)在平面内，确定一个点的位置需要2个数据．(2)两条有公共原点并且互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，一般地，分别称这两条轴为横轴(x轴)或纵轴(y轴)．这个平面称为坐标平面．(3)坐标平面内的点P的坐标记为P(x，y)，点P与它的坐标(x，y)是一一对应的，即任一点P都有唯一的坐标(x，y)，任一对有序实数(x，y)都对应坐标平面内的唯一的点，坐标平面内的点P(x，y)的坐标符号情况如下表：P点的位置第一象限第二象限第三象限第四象限x轴上y轴上坐标符号特征，，，，纵坐标为0横坐标为0(4)对称点的坐标特征：如果点P的坐标为P(a，b)，那么①点P关于x轴的对称点P1的坐标为(a，-b)；②点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-a，b)；③点P关于原点的对称点P3的坐标为(-a，-b)．2．变量与函数的概念(1)了解生活中一个变量随另一个变量变化而变化的情况．(2)函数的定义：设在某变化过程中有变量x和y，如果对于变量x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那变量y就叫做变量x的函数．(3)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．(4)自变量的取值范围的确定方法求某一函数自变量的取值范围，首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．①当自变量以整式形式出现，自变量取值范围是全体实数；②当自变量以分式形式出现，自变量取值范围是使分母不为零的实数；③当自变量以偶次方根形式出现，自变量取值范围是使被开方数为非负数，当自变量以奇次方根出现时，自变量取值范围为全体实数；④当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为零的数．其次，当函数解析式表示具有实际意义或几何意义的函数时，自变量取值范围除应使函数解析式有意义外，还必须符合实际意义或几何意义．(注意：自变量的取值范围有无限的，也有有限的，还有是单独一个(或几个)数的；在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数的自变量取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．)(5)函数的图象画函数的图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．画函数图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心点．知识点二：一次函数及其图象a)一次函数和正比例函数的定义一般地，如果(k、b都是常数，)，那么y是x的一次函数，如，等都是一次函数。特别地，当一次函数中的时，y=kx(k为常数，)，这时，y是x的正比例函数，如，等都是正比例函数。要点诠释：(1)函数是一次函数；函数是正比例函数；(2)正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广，一次函数包括正比例函数。b)正比例函数图象及性质：解析式y=kx(k为常数，且k≠0)自变量取值范围全体实数图象形状过原点和(1，k)点的一条直线k的取值k0k0位置经过一、三象限经过二、四象限趋势(从左向右)上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小c)一次函数图象及性质：解析式y=kx+b(k为常数，且k≠0)自变量取值范围全体实数图象形状过(0，b)和点的一条直线k、b的取值k0k0b0b0b0b0位置经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势(从左向右)上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小要点诠释：(1)k决定直线y=kx+b从左向右是什么趋势(倾斜程度)，b决定它与y轴交点在哪个半轴，k、b合起来决定直线y=kx+b经过哪几个象限；注意看图识性，见数想形.(2)两条直线：y=k1x+b1和：y=k2x+b2的位置关系可由其系数确定：相交平行；重合.d)一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的位置关系：当b0时，直线y=kx+b由直线y=kx向上平移b个单位长度；当b0时，直线y=kx+b由直线y=kx向下平移|b|个单位长度.e)用待定系数法求一次函数的解析式：(1)常见的直接条件：对于正比例函数，根据除原点外的一点(x0，y0)确定对于一次函数，根据两点(x1，y1)和(x2，y2)，解方程组确定k、b(2)间接条件：围成图形的面积；平行关系等.6.用函数观点看方程(组)和不等式(1)会用函数的观点来再次认识一元一次方程、二元一次方程(组)和一元一次不等式，能用辨证的观点看待一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的联系.①一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标一元一次方程kx+b=0的解②一次函数y=k1x+b与y=k2x+b两个图象的交点的解.③使一次函数y=kx+b的函数值y0(或y0)的自变量的取值范围一元一次不等式kx+b0(或kx+b0)的解集.(2)能直观地用函数的图象来反映方程(组)的解和不等式的解集，能用一次函数的性质来解决简单的方程(组)问题、不等式问题和实际问题.7.一次函数的应用(1)一次函数在数学中的应用：①会求某个一次函数的图象和两个坐标轴围成的三角形的面积：②会求两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积：关键是求某两条直线的交点的坐标(即多边形顶点的坐标).(2)掌握一次函数在实际中的应用：如分段函数问题、简单线性规划问题等.知识点三：反比例函数1.反比例函数的概念定义：一般地，函数(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0.要点诠释：①反比例函数三种形式：反比例函数(k是常数，k≠0)可以写成y=k·x-1(k是常数，k≠0)，自变量x的指数是-1；也可写成xy=k(k是常数，k≠0).②注意k≠0的条件，否则不是反比例函数.③反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由=k(k≠0)，因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值.2.反比例函数的图象和性质反比例函数(k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表反比例函数(k≠0)k的符号k0k0图象性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0.②当k0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0.②当k0时，函数图象的两个分以分别在第二、第四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.3.与正比例函数y=kx(k≠0)比较：反比例函数y=kx-1(k≠0)的图象是双曲线，与坐标轴没有交点.正比例函数y=kx(k≠0)的图象是直线，经过原点.函数正比例函数反比例函数解析式y=kx(k≠0)(k≠0)图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数x≠0的一切实数图象的位置当k0时，在一、三象限；当k0时，在二、四象限.当k0时，在一、三象限；当k0时，在二、四象限.性质当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小.当k0时，y随x的增大而减小；当k0时，y随x的增大而增大.4.反比例函数(k≠0)的图象的画法及应注意的问题画图方法：描点法.由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支.一定要注意：k0，双曲线两分支分别在第一、三象限.k0，双曲线两分支分别在第二、四象限.特点：=kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交.但无限靠近x轴、y轴.画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来.5.反比例函数解析式的确定在反比例函数(k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定.所以只要将图象上一点的坐标代入中即可求出k值.知识点四：二次函数1.二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadraticfuncion).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.2.二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.(1)用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.(2)用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象a0a0性质(1)当a0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.4.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征a1.决定抛物线的开口方向；2.决定增减性a0开口向上a0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c0交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab0对称轴在y轴左侧ab0对称轴在y轴右侧b2-4ac决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4a