中考数学复习方案(42)二次函数与几何综合类存在性问题(30页)

第42课时二次函数与几何综合类存在性问题探究一、二次函数与三角形的结合考向互动探究第42课时┃考向互动探究例1．[2013•重庆]如图42－1，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．图42－1考向互动探究第42课时┃考向互动探究例题分层分析(1)抛物线的关系式不清，不能通过解方程的方法确定B点的坐标，根据二次函数的对称性，能求出B点坐标吗？(2)求抛物线的关系式应具备哪些条件呢？由a＝1，A(－3，0)，B(1，0)三个条件试一试．(3)根据S△POC＝4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值．(4)如何用待定系数法求出直线AC的关系式．(5)D点的坐标怎么用x来表示？(6)QD怎样用含x的代数式来表示．(7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(1)由题意知，点A与点B关于直线x＝－1对称，A(－3，0)，∴B(1，0)．(2)①当a＝1时，则b＝2，把A(－3，0)代入y＝x2＋2x＋c中得c＝－3，∴该抛物线的关系式为y＝x2＋2x－3.∵S△BOC＝12·OB·OC＝12×1×3＝32，∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析又S△POC＝12·OC·xp＝6，∴xp＝4，∴xp＝±4.当xp＝4时，yp＝42＋2×4－3＝21；当xp＝－4时，yp＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5.∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)．考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析②∵A(－3，0)，C(0，－3)，则直线AC的关系式为y＝－x－3.设点Q为(x，－x－3)，点D为(x，x2＋2x－3)，∴QD＝yQ－yD＝－x－3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x.当x＝－－32×（－1）＝－32时，QD有最大值，其最大值为－－322－3×－32＝94.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解题方法点析解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．考向互动探究探究二、二次函数与四边形的结合第42课时┃考向互动探究例2．[2013•枣庄]如图42－2，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)，点P是直线BC下方抛物线上的动点．图42－2考向互动探究第42课时┃考向互动探究(1)求这个二次函数的关系式；(2)连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．考向互动探究第42课时┃考向互动探究例题分层分析(1)图中已知抛物线几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的关系式；(2)画出四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？(3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大．考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(1)将B、C两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得9＋3b＋c＝0，c＝－3，解得b＝－2，c＝－3.∴这个二次函数的关系式为y＝x2－2x－3.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(2)假设抛物线上存在点P(x，x2－2x－3)，使得四边形POP′C为菱形．连接PP′交CO于点E.∵四边形POP′C为菱形，∴PC＝PO，PE⊥CO，∴OE＝EC＝32，∴P点的纵坐标为－32，即x2－2x－3＝－32，解得x1＝2＋102，x2＝2－102(不合题意，舍去)．∴存在点P(2＋102，－32)使得四边形POP′C为菱形．考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(3)过点P作y轴的平行线交BC于点Q，交OB于点F，设P(x，x2－2x－3)，由x2－2x－3＝0得点A的坐标为(－1，0)．∵B点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，－3)，∴直线BC的关系式为y＝x－3，∴Q点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x2＋3x.∴S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝12AB·CO＋12PQ·BF＋12PQ·FO＝12AB·CO＋12PQ·(BF＋FO)＝12AB·CO＋12PQ·BO＝12×4×3＋12×(－x2＋3x)×3＝－32x2＋92x＋6＝－32x－322＋758.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析∴当x＝32时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为32，－154，四边形ABPC的最大面积为758.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解题方法点析求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和差．考向互动探究探究三、二次函数与相似三角形的结合第42课时┃考向互动探究例3．[2013•凉山]如图42－3，抛物线y＝ax2－2ax＋ca≠0交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的关系式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；图42－3考向互动探究第42课时┃考向互动探究(3)在(2)的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．考向互动探究第42课时┃考向互动探究例题分层分析(1)将A(3，0)，C(0，4)代入y＝ax2－2ax＋c，求出抛物线的关系式．(2)根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的关系式．(3)根据抛物线和直线AC的关系式如何表示出点P、点M的坐标，求PM的长．(4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E是对应点，则以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(1)∵C(0，4)，A(3，0)在抛物线y＝ax2－2ax＋ca≠0上，∴c＝4，9a－6a＋c＝0，解得a＝－43，c＝4.∴所求抛物线的关系式为y＝－43x2＋83x＋4.(2)设直线AC的关系式为y＝kx＋bk≠0，∵A(3，0)，C(0，4)在直线AC上，∴3k＋b＝0，b＝4，解得k＝－43，b＝4.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析∴直线AC的关系式为y＝－43x＋4，∴Mm，－43m＋4，Pm，－43m2＋83m＋4.∵点P在M的上方，∴PM＝－43m2＋83m＋4－－43m＋4＝－43m2＋83m＋4＋43m－4＝－43m2＋4m.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(3)①若△PFC∽△AEM，此时△PCM是直角三角形且∠PCM＝90°.则PFAE＝CFME，即PFCF＝AEME.又∵△AEM∽△AOC，∴AEOA＝MEOC，即AEME＝OAOC，∴PFCF＝OAOC＝34.∵PF＝PE－EF＝－43m2＋83m＋4－4＝－43m2＋83m，CF＝OE＝m，∴－43m2＋83mm＝34.∵m≠0，∴m＝2316.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析②若△PFC∽△MEA，此时△PCM是等腰三角形且PC＝CM.则PFME＝FCAE，即PFFC＝MEAE.由①得OAOC＝AEME＝34，∴OCOA＝43∴PFFC＝OCOA＝43.同理，PF＝－43m2＋83m，CF＝OE＝m，∴－43m2＋83mm＝43.∵m≠0，∴m＝1.综上可得，存在这样的点P，使以P、C、F为顶点的三角形与△AEM相似，此时m的值为2316或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．考向互动探究第42课时┃考向互动探究解题方法点析此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．考向互动探究探究四、二次函数与圆的结合第42课时┃考向互动探究例4．[2013•巴中]如图42－4，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴正半轴交于点C.(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数关系式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数关系式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．图42－4考向互动探究第42课时┃考向互动探究例题分层分析(1)已知抛物线上的哪两个点？设经过A、B、C三点的抛物线的关系式是y＝a(x－4)(x＋1)，把C(0，2)代入试试．(2)顶点M和C点的坐标怎么求？(3)如何求∠PCD＝90°？用勾股定理的逆定理试试．考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(1)∵A(4，0)，B(－1，0)，∴AB＝5，半径是PC＝PB＝PA＝52，∴OP＝52－1＝32.在△CPO中，由勾股定理得OC＝CP2－OP2＝2，∴C(0，2)．设经过A、B、C三点的抛物线的关系式是y＝a(x－4)(x＋1)，把C(0，2)代入得2＝a(0－4)(0＋1)，∴a＝－12，∴y＝－12(x－4)(x＋1)＝－12x2＋32x＋2，故经过A、B、C三点的抛物线的关系式是y＝－12x2＋32x＋2.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(2)∵y＝－12x2＋32x＋2＝－12x－322＋258，∴M32，258.设直线MC对应的函数关系式是y＝kx＋b，把C(0，2)，M32，258代入，得258＝32k＋b，b＝2，解得k＝34，b＝2，∴y＝34x＋2.故直线MC对应的函数关系式是y＝34x＋2.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解析(3)直线MC与⊙P的位置关系是相切．证明：设直线MC交x轴于点D，当y＝0时，0＝34x＋2，∴x＝－83，OD＝83，∴D－83，0.在△COD中，由勾股定理得CD2＝22＋832＝1009＝40036.又PC2＝522＝254＝22536，PD2＝52＋83－12＝62536，∴CD2＋PC2＝PD2，∴∠PCD＝90°，∴PC⊥DC.∵PC为半径，∴直线MC与⊙P的位置关系是相切.考向互动探究第42课时┃考向互动探究解题方法点析用待定系数法求一次函数、二次函数的关系式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．考向互动探究