找准主要等量关系列方程

找准主要等量关系列方程方程法是解答应用题的一种重要方法。那么，用方程法解应用题有哪些步骤，关键在哪，又有何技巧找到关键之处呢？用方程法解应用题要做到“一读、二找、三列、四解、五检验、六答”。“一读”就是读懂题意，确定哪个未知量用x表示；“二找”就是找准主要等量关系；“三列”就是根据找到的等量关系列方程；“四解”就是解方程，求出未知数x的值；“五检验”就是把x的值代入原方程，看方程左右两边是否相等；“六答”就是写出答案。在这六步中，“二找”，也就是找准主要等量关系非常重要，是用方程法解应用题的关键所在。那么，怎样才能找准题中主要等量关系，正确列出方程呢？下面举例介绍两种主要方法。一.利用计算公式找准主要等量关系例1.一个梯形的面积是18平方厘米，它的上底是4.6厘米，下底是5.4厘米。求这个梯形的高是多少厘米？分析与解：本题涉及到梯形面积和求梯形面积所需条件之间的关系，所以梯形面积计算公式是本题的主要等量关系。根据梯形面积计算公式：，设梯形的高为x厘米，则可列方程：。例2.一个长方形的周长是60厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积。分析与解：本题中要想求长方形的面积，应先根据长方形的周长求出其长和宽，所以长方形周长计算公式是本题的主要等量关系。在未知量长和宽中，设宽为x厘米较为方便，可列方程：，解得：，进而求得这个长方形的面积是（平方厘米）。二.根据生活经验和常识找准主要等量关系例3.图书小组原来有一些图书，借给3个班，每个班各借了28本后，还剩25本。图书小组原来有图书多少本？分析与解：题中出现了借给的班级数、借给每班的本数、剩下图书的本数三个数量，其中隐含着原有图书本数、借出图书本数和剩下图书本数三个数量之间的相等关系：原有图书本数减去借出图书本数的差等于剩下图书的本数。根据这一主要等量关系，设图书小组原来有图书x本，则可列方程：。例4.买2枝钢笔比买5枝水笔多花了0.8元。已知每枝水笔的价钱是2.6元，每枝钢笔的价钱是多少元？分析与解：本题涉及到钢笔数量、水笔数量、相差钱数及钢笔、水笔的单价五个数量。其中隐含着钢笔总价、水笔总价和相差钱数这三个数量之间的相等关系：钢笔总价减去水笔总价等于相差钱数。根据这一主要等量关系，设每枝钢笔的价钱是x元，则可列方程：。例5.小明家离学校有1200米。一天，他要在30分钟内赶到学校，他先以每分钟20米的速度行了10分钟，那么后面他平均每分钟至少要行多少米才能及时赶到学校？分析与解：本题涉及的数量较多，有总路程、总时间、先行时间和速度、后行时间和速度。题中隐含的主要等量关系是：先行路程与后行路程的和等于总路程。设后面小明平均每分钟至少要行x米，则可列方程：。用方程巧解［题目］秋季开学后，学校里新来了一位数学老师。同学问新老师的年龄，这位老师说：“我2000年时的年龄正好等于出生年份的四个数字之和。”新老师今年多少岁？［一般解法］分析探究，用尝试法推算。首先必须明白，公历年份中以年份1999各位数字的和28为最大，因此新老师的年龄不会超过28岁。根据这一分析，我们可逐一进行如下的推算。当新老师2000年的年龄是27岁时，出生的年份应为（2000－27）1973，但1973四个数字的和为20，不合题意；再逐一推算新老师2000年的年龄是26岁、25岁、24岁……的情况，当推算到19岁时，出生的年份应为（2000－19）1981，1981四个数字的和才刚好等于19。所以，新老师出生于1981年，今年是（2005－1981）24岁。［巧妙解法］设未知数，用方程计算。设新老师出生年份十位上的数字为A，个位上的数字为B。由于新老师出生于1900多年，则出生的年份为（1900＋10A＋B）。再按已知条件，可列出如下方程：2000－（1900＋10A＋B）＝1＋9＋A＋B2000―1900―10A―B＝10＋A＋B11A＋2B＝90上述方程中，A、B均为一位整数，当“B＝1、A＝8”时方程成立。所以，新老师生于1981年，今年（2005－1981）24岁。“简易方程”的知识梳理与解题指导李斌一、知识梳理同学们在学习“简易方程”的内容时，要掌握以下这些知识并注意相关的问题。1.用字母表示数（1）用字母表示运算定律、计算公式、数量关系等，简明易记、便于应用。（2）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。数与字母相乘省略乘号时，一般要将数写在字母前面。当1与字母相乘时，1可以省略不写。（3）把字母的取值代入含有字母的式子中求值时，省略的乘号要还原，并且计算的得数后面要写单位名称。（4）2a读作a的平方，表示2个a相乘，即aa。2.方程的意义（1）方程的概念：像120x50这样的含有未知数的等式，叫做方程。方程是等式，但等式不一定是方程。（2）等式的基本性质：等式的两边同时加上或减去相同的数，左右两边仍然相等；等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），左右两边仍然相等。3.解方程（1）“方程的解”与“解方程”的区别：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，它是一个数值；求方程的解的过程叫做解方程，它是一个演算过程。（2）依据等式的基本性质解方程。解方程时每一步得到的都是等式，而不是递等式，并且要使等号对齐。（3）验算：把未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。4.用方程解决实际问题（1）用方程解决实际问题的一般步骤：弄清题意，找出未知数并用x表示；找出数量之间的相等关系，列方程；解方程；检验，写出答语。（2）用方程解决实际问题的关键：找准题中数量之间的相等关系。方法有：依据题中条件的顺序找；利用几何图形的周长、面积计算公式找；根据常见数量关系找；抓住题中反映数量关系的重点句找；借助线段图找；通过两个未知数的关系找，等等。二、解题指导例1.工地上运来ta水泥，每天用去t8.2，用了b天。请用式子表示还剩下多少水泥。如果运来的水泥有t260，已经用了40天，用上面的式子求出工地上还剩下多少水泥。分析与解：求“还剩下多少水泥”。应该用“运来的水泥总质量-已经用的水泥质量”，而“已经用的水泥质量=每天用去的水泥质量用的天数”，因此，剩下的水泥质量可以表示为b8.2a。根据题意，把260a、40b代入这个式子就可求出工地上还剩下的水泥质量，即当260a、40b时，148112260408.2260b8.2a，所以工地上还剩下t148水泥。例2.在35x28，05.7x3，21x6，10x34，9817中，哪些式子是方程？分析与解：一个式子是方程要符合三个条件：第一，必须是等式；第二，必须含有未知数；第三，未知数参与运算。因此，上面的几个式子中，05.7x3，10x34是方程。例3.（1）解方程60x5.2（2）解方程76x2.319分析与解：解第（1）题这样的bax的方程，可直接依据等式的基本性质来解。求出方程的解后，要进行检验。解第（2）题这样稍复杂的方程，要对方程进行变形转化，把它变形为bax这样的方程。首先要将小括号内的式子x2.3看作一个整体，把方程的两边都除以19，使原方程变形为4x2.3，然后再求解。（1）60x5.2（2）76x2.3195.2605.2x5.2197619x2.31924x4x2.38.0x2.342.3x2.3例4.某商店购进红毛衣49件，比购进的蓝毛衣的6倍少35件。这个商店购进蓝毛衣多少件？分析与解：用方程解决实际问题，首先要弄清题意，找出未知数并用x表示，然后再找出数量之间的相等关系，列出方程，未知数和已知数一样，参与列式。根据题意可知，红毛衣与蓝毛衣的件数有这样的数量关系：蓝毛衣的件数356红毛衣的件数。设这个商店购进蓝毛衣x件，可列方程：4935x6。解这个方程时要先把6x看作一个整体，然后求解。解：设这个商店购进蓝毛衣x件。4935x614x6846x684x635493535x6答：这个商店购进蓝毛衣14件。例5.某学校买了20个足球和18个篮球，共付出870元钱，每个篮球24元，每个足球多少钱？分析与解：分析题中的数量关系可知：买足球付的钱数+买篮球付的钱数=付出的总线数。设每个足球x元，可列方程：8701824x20。解：设每个足球x元。9.21x2043820x20438x20432870432432x20870432x208701824x20答：每个足球9.21元。例6.用一根长cm8.36的铁丝围成一个宽8cm的长方形，这个长方形的面积是多少2cm？分析与解：在有关几何图形的问题中，图形的周长、面积计算公式就是现成的等量关系式。本题中的等量关系是：（长+宽）2=周长，所以可设长方形的长为xcm，列出方程：8.3628x。解这个方程时要把8x看作一个整体。求出长方形的长以后，就可以求出长方形的面积了。解：设长方形的长为xcm。4.10x84.1888x4.188x28.36228x8.3628x2.8384.10（2cm）答：这个长方形的面积是2cm2.83。例7.小明买了面额2元和面额0.8元的两种邮票共24枚，用去了30元钱。这两种邮票小明各买了多少枚？分析与解：题中的数量关系是：面额2元的邮票总价+面额0.8元的邮票总价=买邮票用去的总钱数，根据题意，可设小明买了其中一种邮票x枚。如设小明买了面额2元的邮票x枚，那么小明买的面额8.0元的邮票就是x24枚，可列方程：30x248.0x2。解这样比较复杂的方程，需要对原方程进行变形转化。首先将方程左边的x248.0去括号，然后运用乘法分配律，把x8.0与x2合并，转化为x8.02，再继续求解。解：设小明买了面额2元的邮票x枚，那么小明买的面额0.8元的邮票是x24枚。9x2.18.102.1x2.18.10x2.12.19302.192.19x2.1302.19x8.0230x8.0248.0x230x248.0x215924（枚）答：小明买了面额2元的邮票9枚，面额0.8元的邮票15枚。怎样找等量关系列方程李斌1.根据常见的数量关系找等量关系。同学们，在解决有关整数或小数的实际问题时，已经掌握了一些常见的数量关系，如速度×时间＝路程，单价×数量＝总价等，根据这些数量关系就可直接写出等量关系式。例1.一辆汽车每小时行驶56千米，几小时可行驶336千米？分析与解：根据“速度×时间＝路程”可得等量关系：每小时行驶的路程×所需要的时间＝行驶的路程，或行驶的路程÷所需要的时间＝每小时行驶的路程。设汽车x小时可行驶336千米，可列万程56x＝336，或336÷x＝56，解得x＝6。2、根据图形的计算公式找等量关系。我们知道平面图形的周长和面积计算公式，如长方形的面积＝长×宽，正方形的周长＝边长×4，平行四边形的面积＝底×高等。这些图形的计算公式为我们提供了等量关系，需要注意的是列方程时。一般要把含有未知数的量放在等式的左边。例2.一个平行四边形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？分析与解：平行四边形面积的计算公式：“平行四边形的面积＝底×高”是题中的等量关系。设高是x厘米，可列方程25x＝100，解得x＝4。3.根据关键词语找等量关系。在实际问题的叙述中经常会出现“一共”“比……多”“比……少”“几倍”以及“和、差、积、商”等词语，我们可以抓住这些关键的词语来找等量关系。例3.学校开展植树活动，五年级植树80棵，比四年级多植树26棵，四年级植树多少棵？分析与解：根据五年级比四年级多植树26棵，可以找出这样的等量关系：四年级植树的棵数＋26＝五年级植树的棵数。设四年级植树x棵，可列方程x＋26＝80。解得x＝54。4.根据事情发展的经过找等量关系。实际问题都有个发展顺序，我们可以根据事情发展的经过来找等量关系。例4.学校食