[名校联盟]山东省沂水一中高二数学课件：弧度制与任意角的三角函数

考纲要求考纲研读1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．.zxxk3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义..zxxk1.任意角α的三角函数只与角α的大小有关．2．能根据三角函数的定义求三角函数值．3．能判断不同三角函数在各个象限的符号.1．任意角的概念逆时针顺时针零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角是按_______方向旋转形成的；负角是按________方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们称它为_______．2．终边相同的角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}终边与角α相同的角，可写成S＝________________________．3．弧度制半径长的弧弧度制正数负数(1)长度等于_____________所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做__________．(3)正角的弧度数为_____，负角的弧度数为_____，零角的弧心角时所对圆弧的长，r是圆的半径)．(4)弧度与角度的换算：180°＝___rad；π1°＝______rad≈0.01745rad；.zxxk57.30°度数为____．角α的弧度数的绝对值|α|＝__(其中l是以角α作为1rad＝180π°≈_______＝57°18′.零1rπ1804．弧长公式和扇形面积公式在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为l＝______；S＝______.12l·r在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为l＝_____；S=______.5．任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么|α|·rnπr180nπr2360(1)比值—叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝____.(2)比值—叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝____.(3)比值—叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝_____.yrxryx6．三角函数值在各象限的符号yrxryx1．经过2个小时，钟表上的时针旋转了()A．60°B．－60°C．30°D．－30°B解析：钟表的时针旋转一周是－360°，所以经过2个小时应旋转－60°.2．下列各对角中终边相同的是()A.π2和－π2＋2kπ(k∈Z)B．－π3和223πC．－7π9和11π9D.20π3和122π9C3．sin870°＝_____.124．角θ的终边在直线x－3y＝0，θ∈(0,2π)．则θ＝_______.π6或7π65．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－35，则b的值为___.解析：由x＝－b，y＝4，得r＝b2＋16，∴－bb2＋16＝－35，解得：b＝3.3.zxxk.zxxk考点1角的概念例1：(1)写出与－1840°终边相同的角的集合M；(2)把－1840°的角写成k·360°＋α(0°≤α＜360°)的形式；(3)若角α∈M，且α∈[－360°，360°]，求角α.解析：(1)M＝{α|α＝k·360°－1840°，k∈Z}．(2)－1840°＝－6×360°＋320°.(3)∵α∈M，且－360°≤α≤360°，∴－360°≤k·360°－1840°≤360°.∴1480°≤k·360°≤2200°，379≤k≤559.∵k∈Z，∴k＝5,6.故α＝－40°或α＝320°.在0°到360°范围内找与任意一个角终边相同的角时，可根据实数的带余除法进行．因为任意一个角α均可写成k·360°＋α1(0°≤α1＜360°)的形式，所以与α角终边相同的角的集合也可写成{β|β＝k·360°＋α1，k∈Z}．如本题M＝{β|β＝k·360°＋320°，k∈Z}．由此确定[－360°，360°]范围内的角时，只需令k＝－1和0即可．【互动探究】1．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()DA．1个B．2个C．3个D．4个考点2三角函数的概念例2：已知角α终边经过点P(3t,4t)，t≠0，求角α的正弦、余弦和正切．解析：由x＝3t，y＝4t，得r＝3t2＋4t2＝5|t|.当t＞0时，r＝5t.因此sinα＝45，cosα＝35，tanα＝43.当t＜0时，r＝－5t.因此sinα＝－45，cosα＝－35，tanα＝43.任意角的三角函数值，只与角的终边位置有关，而与角的终边上点的位置无关．当角α的终边上的点的坐标以参数形式给出时，由于参数t的符号不确定，故用分类讨论的思想，将t分为t＞0和t＜0两种情况，这是解决本题的关键．【互动探究】2．角α的终边过点P(－8m，－6cos60°)且cosα＝－45，则m的值是()A.12B．－12C．－32D.32解析：P(－8m，－3)，cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m＝12或m＝－12(舍去)．选A.A.zxxk3．(2011年江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝____.－8考点3弧度的概念例3：如图6－1－1，一扇形的半径为r，扇形的周长为4.图6－1－1(1)将扇形的面积S表示成半径r的函数，并求函数的定义域；(2)问圆心角α为多少弧度时，扇形的面积S取得最大值？解析：(1)设AB的长度为l，由条件知2r＋l＝4，即l＝4－2r.扇形的面积S＝12rl＝12r(4－2r)＝－r2＋2r.由条件得l0，r0.即4－2r0，r0.解不等式组得0r2.所以S＝－r2＋2r，定义域为(0,2)．(2)当r＝1时，二次函数S＝－r2＋2r取得最大值为1，此时l＝4－2＝2，圆心角α＝lr＝2.即圆心角α＝2弧度时，扇形的面积最大．.zxxkS＝—rl，其中l表示扇形的弧长．自变量是线(线段或曲线)的长度时，求函数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数．应用扇形的面积公式12【互动探究】4．如图6－1－2，向半径为3，圆心角为π3的扇形OAB内投一个质点，则该质点落在其内切圆内的概率为____.解析：设内切圆圆心为C，OA与内切圆的切点为D，连接OC，CD.在Rt△OCD中，∠COD＝π6.设CD＝r，则OC＝3－r，故3－r＝2r，解出r＝1.所求的概率为S内切圆S扇形＝π·1216·π·32＝23.图6－1－223考点4三角函数的符号问题例4：判断符号：(1)sin340°·cos265°；(2)sin4·tan－23π4.解析：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin340°＜0，cos265°＜0，∴sin340°·cos265°＞0.(2)∵π＜4＜3π2，∴4弧度角在第三象限，∵－234π＝－6π＋π4，∴－234π弧度角在第一象限．三角函数值“符号看象限”，在使用这一结论时，要结合具体函数，如第二象限角α，其正弦为正，而余弦为负，就往往因被忽视而致错．∴sin4＜0，tan－23π4＞0.∴sin4·tan－23π4＜0.【互动探究】.zxxk5．下列各式中计算结果为正数的是()A．tan188°sin275°B.tan100°cos301°C．sin7π6cos3π5tan5π4D.sin6π5·tan11π6cos－2π3C1．角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系．2．要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念．3．已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值．.zxxk1．在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度制表示角．但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用．例2．要注意区分第一象限角、锐角和小于90°的角的不同．如α＝2kπ＋30°(k∈Z)，β＝k·360°＋3π2(k∈Z)都是不准确的．.zxxk