遇到中点引发六联想

展望教育1遇到中点引发六联想联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？相信你阅读下文后，能给你带来一定的启示。1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【】(2008年安徽省)A．65B．95C．125D．165分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。解：连接AM，因为，AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；因为，点M为BC中点，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM⊥BC，在直角三角形AMC中，AC=5，CM=21BC=3,所以，AM=222235CMAC=4，所以，三角形ABC的面积是：21×BC×AM=21×6×4=12,所以，三角形ACM的面积是：6；所以，6=21×AC×MN，所以，MN=512.所以，选择C。2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”展望教育2例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。分析：由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FG∥BC,FE∥AC，FE=21AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=21AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。证明：因为，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，所以，FG∥BC，FE∥AC，FE=21AC，所以，FG∥ED，因为，FE∥AC，DG与AC是相交的，所以，DG与EF也是相交的，所以，四边形EFGD是梯形，因为，AD是三角形的高，所以，三角形ADC是直角三角形，因为，DG是斜边上的中线，因此，DG=21AC，所以，DG=EF,所以，梯形EFGD是等腰梯形。3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”例1求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，我们就自然联想到三角形的中位线定理，在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。证明：如图5所示，连接AC，因为，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。展望教育3所以，EF是三角形ABC的中位线，GH是三角形ADC的中位线，所以，EF∥AC，EF=21AC，GH∥AC，GH=21AC，因此，EF∥GH，EF=GH，所以，四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形例4、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE，求证：S△ABE=21S四边形ABCD。分析：如果直接证明，是不容易，联想到AD∥BC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。证明：如图7所示，延长AE，与BC的延长线交于点F，因为，AD∥BC，所以，∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，因为，点E是CD的中点，所以，DE=CE，所以，△ADE≌△FCE，所以，AE=EF，所以，S△ABE=S△BEF，因为，S△BEF=S△BEC+S△ECF=S△BEC+S△ADE，所以，S△ABE=S△BEC+S△ADE，因为，S△ABE+S△BEC+S△ADE=S四边形ABCD，故，2S△ABE=S四边形ABCD，所以，S△ABE=21S四边形ABCD。5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”例5、如图8示，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，展望教育4若8cmAB，3cmOC，则⊙O的半径为cm．分析：由点C是AB的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC⊥AB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。解：因为，点C是AB的中点，所以，OC⊥AB，因为，AB=8,所以，AC=4,在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3,所以，OA=222243OCAC=5(cm)，因此，圆的半径是5cm。6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于：A、65B、54C、43D、32分析：如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。解：如图10所示，连接BG，因为，E是线段AB的中点，所以，S△AEG=S△BEG=x，S△BGF=S△GCF=y，设AB=2a，BC=2b，所以，矩形的面积是：2a×2b=4ab，根据题意，得：2y+x=21×BC×BE=ab，2x+y=21×BA×BF=ab，所以，2x+y=2y+x，即x=y=3ab，所以，4x=34ab=31矩形的面积，所以，S四边形AGCD=32矩形的面积，所以，ABCDAGCDSS矩形四边形等于32，所以，选D。