《概率论与数理统计》综合复习资料

《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、已知工厂AB、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由AB、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，若取到的是次品，那么该产品是A工厂的概率为3/7。2、设随机变量X的概率分布为fxAxx()，，其它010，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{}X12出现的次数，则PY{}2=9/64。3、设X与Y独立同分布，且)3,2(~2NX，则D(32XY)=117。4、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10。则：)|(BAP3/14；)(BAP19/30。5、一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为8/45；（2）恰有一次取到次品的概率为16/45。6、设随机变量)2,1(~2NX、)3(~PY（泊松分布），且相互独立，则：)2(YXE=5；)2(YXD19。7、设A、B为事件，3.0)(6.0)(BAPAP，，则PAB()0.7。8、设X与Y相互独立，都服从[0，2]上的均匀分布，则PXY{}1/2。9、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且已知1)]2)(1[(XXE，则=1。10、设由来自总体XN~()，1的容量为100的样本测得样本均值X5，则的置信度近似等于0.95的置信区间为(4.804，5.196)。11、一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以A表示：“取到的两只球均为白球”；B表示：“取到的两只球同色”。则)(AP3/28；)(BP13/28。12、设X的概率分布为000)(xxexfx，，，则}3{XP31e；X的分布函数)(xF0001xxex，，。13、设随机变量~X其它，，，010011)(xxAxxxf，则常数A=1；EX0。二、选择题1、设事件AB、满足PBAPBA(|)(|)，且1)(0AP，0)(BP，则有（B）PABPAPB()()()2、对于随机变量X、Y，若EYEXEXY，则(C)DYDXYXD)(3、设)1,3(~NX，)1,2(~NY，且相互独立，则~72YX(A))5,0(N4、设nXXX，，，21为来自总体2()N，的一个样本，X为样本均值，0已知，记2121)(11XXnSnii，2122)(1XXnSnii，则服从自由度为1n的t分布统计量是)(DnSXT/105、设A和B是任意概率不为零的互斥事件，则结论正确的是（A）)()(APBAP6、设)(YX，的概率密度其它，，，，02010yxyxAyxf)()(，则A（B）1/37、设总体),,(~xfX为未知参数，nXXX，，，.21为X的一个样本，)().(2121nnXXXθXXXθ，，，，，，，为两个统计量，为),(的置信度为1的置信区间，则应有D)1}{P8、设25DX，9DY，4.0xy，则D)(YX=（A）229、设X和Y均服从正态分布)3(~)2(~22，，，NYNX，记}2{1XPp，}3{2YPp，则()D对任何实数都有pp1210、某人射击中靶的概率为3/5，如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率(C)53)52(211、设X与Y独立同分布,记UXY,VXY，则UV、必然(B)不相关12、记0H为待检验假设，则所谓犯第一类错误指的是（A）0H为真时，拒绝0H13、设随机变量X的密度函数为其它,010,)(3xCxxf则常数C=()B4。14、设每次试验成功的概率为1/3，则在3次重复试验中恰有1次成功的概率为C4/9。15、设X和Y相互独立，且均服从)1,0(N，则(A)2/1}0{YXP16、设4DX，9DY，4.0xy，则D)2(YX=(D)49.6三、解答题1、在某城市中发行三种报纸A、CB、，经调查，订阅A报的有50%，订阅B报的有30%，订阅C报的有20%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A、CB、报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订阅A及B报；（2）恰好订阅两种报纸。2、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：（1）敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。3、在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压)25,220(~2NX，试求：（1）该电子元件被损坏的概率；（2）电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率。（提示：788.0)8.0(）4、设G为由抛物线yx2和yx所围成区域，()XY，在区域G上服从均匀分布，试求（1）XY、的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量X与Y是否相互独立。5、有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。6、已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X的概率分布。7、二维随机变量（X，Y）的概率分布表如下：YX－１01-11/81/81/801/801/811/81/81/8求：（1）EX、EY、DX、DY；（2）YX，的相关系数XY；8、一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用X、Y分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：（1）随机向量)(YX，的概率分布；（2）)(YX，关于X和关于Y的边缘概率分布。（3）X和Y是否相互独立？为什么？9、设X的概率分布为X012P1/31/61/2求：（1）X的分布函数；（2）PX{}12、PX{}132、PX{}132。10、设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。11、设二维随机变量（X，Y）的概率分布为其它,00,),(yxeyxfy求：（1）随机变量X的密度函数)(xfX；（2）概率}1{YXP。12、设X的分布密度为fxxxxx()，当，当，其它012120，求：数学期望EX和方差DX。13、某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%。现从待出厂的产品中随机地取一件，求：（1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率。14、设相互独立随机变量YX、的概率分布分别为其它，，03121)(xx；0002)(2yyeyy，，求：)(YXE和)32(2YXE。15、设随机变量X的概率分布为X－1012kp0.30.20.40.1求：（1）DXEX、；（2）12XY的概率分布；16、设随机变量X的分布函数为xaxFtanArc1)()(x求：（1）系数a；（2）X落在区间（－1，1）中的概率；（3）随机变量X的概率密度。（提示：xtanArc为反正切函数）《概率论与数理统计》综合复习资料参考答案三、计算题1、在某城市中发行三种报纸A、CB、，经调查，订阅A报的有50%，订阅B报的有30%，订阅C报的有20%，同时订阅A及B报的有10%，同时订阅A及C报的有8%，同时订阅B及C报的有5%，同时订阅A、CB、报的有3%，试求下列事件的概率：（1）只订阅A及B报；（2）恰好订阅两种报纸。解：（1）)()()(ABCABPCABPCABP)()(ABCPABP07.003.01.0（2）))()()()(CBAPBCAPCABPCBABCACABP14.005.002.007.02、甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：(1)敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。解：设事件A表示：“甲击中敌机”；事件B表示：“乙击中敌机”；事件C表示：“敌机被击中”。则（1）)(1)(1)()(BAPBAPBAPCP9.01.01（2）4.0)5.01(8.0)()()(BPAPBAP（3）1.05.0)8.01()()()(BPAPBAP3、在电源电压不超过200，200—240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压)25,220(~2NX（提示：788.0)8.0(），试求：（1）该电子元件被损坏的概率（2）电子元件被损坏时，电源电压在200—240伏内的概率。解：设A1：“电源电压不超过200伏”；A2：“电源电压在200—240伏”；A3：“电源电压超过240伏”；B：“电子元件被埙坏”。由于XN~()220252，，所以PAPXF(){}()()120020020022025(.)(.)..08108107880212PAPX(){}()()22002402402202520022025(.)(.)(.).080820810576PAPX(){}()3240124022025108107880212(.)..由题设PBA(|).101,PBA(|).20001,PBA(|).302,所以由全概率公式PBAPBAiii()()(|).1300642由条件概率公式PABPAPBAPB(|)()(|)().22200094、设G为由抛物线yx2和yx所围成区域，()XY，在区域G上服从均匀分布，试求（1）XY、的联合概率密度及边缘概率密度；（2）判定随机变量X与Y是否相互独立。解：如图所示，G的面积为yAxxdx()20116yx2因此均匀分布定义得XY、的联合概o1x率密度为fxyxyG(,),(,),60其他而fxfxydydyxxxXxx()(,)()660122，fyfxydxdxyyyYyy()(,)()6601，所以关于X和关于Y的边缘分布密度分别为fxxxxX()(),,60102其他fyyyyY()(),,6010其他（2）由于),()()(yxfyfxfYX，故随机变量X与Y不相互独立。5、有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：(1)此人来迟的概率；(2)若已知来迟了，此人乘火车来的概率。解：设事件A表示：“此人来迟了”；事件iA分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（i123，，，4）。2分则41iiA，且PAi()0，4321AAAA、、、两两互不相容（1）41)|()()(iiiAAPAPAP518152121101315141103（2）PA