高中数学解三角形中的难题

高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！1.（2013·福州模拟）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A0,ω0,|φ|2）的图象如图所示，为了得到g(x)=sin3x的图象，则只要将f(x)的图象()(A)向右平移4个单位长度(B)向右平移12个单位长度(C)向左平移4个单位长度(D)向左平移12个单位长度2.（浙江省调研）曲线y=2sin(x+4)cos（x-4)与直线y=12在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3、…,则|P2P4|等于()（A）π（B）2π（C）3π（D）4π3.(2012·长沙模拟）若a、b、c是△ABC的三边，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，则△ABC一定是()（A）直角三角形（B）等边三角形（C）锐角三角形（D）钝角三角形4.(易错题)若α，β∈(0，2)，cos(α－3)22＝，sin(2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于()3113ABCD2222（）（）（）（）5.已知tanα和tan(4－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是()（A）b=a+c（B）2b=a+c（C）c=b+a（D）c=ab6.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为()高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！（A）(30+303)m（B）(30+153)m（C）(15+303)m（D）(15+153)m7.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2）的图象如图所示，则f（0）=_______.8.在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.9.定义一种运算：(a1，a2)(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(3，2sinx)(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为_______.10.（2012·龙岩模拟）已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(A0,ω0,|φ|2)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线x=3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是_________.11.（13分）(2012·宜春模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|2)的部分图象如图所示：高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！(1)求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心；(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，求g(x)的单调递增区间.答案解析1.【解析】选B.由函数f(x)的图象知A＝1，5222T4(),3,21243T3＝3fxsin(3x),f()0sin()0,44||,,fxsin(3x)sin[3(x)],24412gxsin3xB.12又即又向右平移个单位长度，即得的图象，故选2.【解析】选A.2sin(x+4)cos(x-4)=2sin2(x+4)=1-cos［2(x+4)］=1+sin2x，其最小正周期为π,又|P2P4|显然是一个周期，故选A.3.【解析】选D.由题设知22c1,ab即a2+b2c2,即a2+b2-c20,于是222abccosC0,2ab所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形.4.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α－2和2－β的度数，再根据条件作出判断，进而求得cos(α＋β).【解析】选B.∵α，β∈(0，2)，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！422224－－，－－，由cos(α－2)＝32和sin(2－β)＝12，可得α－2＝±6，2－β＝－6，当α－2＝－6，2－β＝－6时，α＋β＝0与α，β∈(0，2)矛盾；当α－2＝6，2－β＝－6时，α＝β＝3，此时cos(α＋β)＝12.5.【解题指南】利用根与系数的关系得到tanα和tan(4-α)与系数a,b,c的关系，再利用正切的两角和公式得到a,b,c的关系.【解析】选C.btantan()4actantan()4a＋－＝－，－＝batantan()1c441abc1baccab.aa－＝［－＋］＝＝，－－＝－，－＝－，＝＋6.【解析】选A.在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60m,sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°23216222224，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！由正弦定理得:PBAB,sin30sin151602PB3062,624∴树的高度为PBsin45°=3062×22=(30+303)m.7.【解析】由图象知最小正周期2132T2344（），故ω=1，又x=34时，f（x）=2，即2sin（34+φ）=2，可得φ=-4+2kπ，k∈Z又∵|φ|＜2，∴φ=-4.所以f（x）=2sin（x-4），f（0）=2sin（-4）=-2.答案：-28.【解析】由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝12AD·DC·sin60°＝3－3，所以DC＝2(3－1)，又因为BD＝12DC，所以BD＝3－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝12DC·AE＝3－3，所以AE＝3，又在直角三角形AED中，DE＝1，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！所以BE＝3，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝23－3，所以tan∠ACE＝AE323EC233＝＝＋，－所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60°【方法技巧】巧解三角形解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.9.【解析】由题意可得A＝2，m=2,24,T∴y=2sin(4x+φ)+2.又直线x=3是其图象的一条对称轴，54kkZ),kkZ).326||,,26（（又∴所求函数解析式为y=2sin(4x+6)+2.答案：y=2sin(4x+6)+210.【解题指南】(1)先由图象直接得A，求得周期T进而求得ω,代入点求得φ，这样得解析式求得对称中心.(2)利用对称中心为P（4，0），求得g(x)的解析式，再求单调递增区间.【解析】(1)由图可得，A＝2，T2＝6－(－2)＝8，所以，T＝16，ω＝8，高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！则此时f(x)＝2sin(8x＋φ)，将点(2，2)代入，可得φ＝4.∴f(x)＝2sin(8x＋4)；对称中心为(8k－2,0)(k∈Z).(2)由g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，得g(x)＝－f(8－x)，∴g(x)＝－2sin［8(8－x)＋4］552sin(x)2sin(x)4884＝－－＝－，令52kx2k,2842－－＋得16k＋6≤x≤16k＋14,即g(x)的单调递增区间为［16k＋6,16k＋14］(k∈Z).1．（西安模拟）某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为()A.3B．23C.3或23D．3解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由正弦定理BCsin∠CAB＝ACsin30°，得∠CAB＝60°或120°，当∠CAB＝60°时，∠ACB＝90°，AB＝23；当∠CAB＝120°时，∠ACB＝30°，AB＝3，故选C.答案：C2．（合肥市质检）一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．53海里高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！C．10海里D．103海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时)．答案：C3．（云南师大附中月考）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm解析：利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×－12＝3a2，∴AB＝3a.答案：B4．（2013新课标数学压题卷）有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米答案：C5.（大同调研）若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()A．5B．6C．7D．8解析：依题意及面积公式S＝12bcsinA，得103＝12bcsin60°，得bc＝40.又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C6.（九江一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sinC2.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．解析：(1)由已知得sinC＋sinC2＝1－cosC，∴sinC22cosC2＋1＝2sin2C2.由sinC2≠0，得2cosC2＋1＝2sinC2，∴sinC2－cosC2＝12.高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com|我们负责传递知识！两边平方，得1－sinC＝14，∴sinC＝34.(2)由sinC2－cosC2＝12＞0，得π4＜C2＜π2，即π2＜C＜π，则由sinC＝34得cosC＝－74.由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋27，所以c＝7＋1.