数学建模实验报告

数学建模实验报告1一、实验目的1、通过具体的题目实例，使学生理解数学建模的基本思想和方法，掌握数学建模分析和解决的基本过程。2、培养学生主动探索、努力进取的的学风，增强学生的应用意识和创新能力，为今后从事科研工作打下初步的基础。二、实验题目（一）题目一1、题目：电梯问题有r个人在一楼进入电梯，楼上有n层。设每个乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，试建立一个概率模型，求直到电梯中的乘客下完时，电梯需停次数的数学期望。2、问题分析（1）由于每位乘客在任何一层楼出电梯的概率相同，且各种可能的情况众多且复杂，难于推导。所以选择采用计算机模拟的方法，求得近似结果。（2）通过增加试验次数，使近似解越来越接近真实情况。3、模型建立建立一个n*r的二维随机矩阵，该矩阵每列元素中只有一个为1，其余都为0，这代表每个乘客在对应的楼层下电梯（因为每个乘客只会在某一层下，故没列只有一个1）。而每行中1的个数代表在该楼层下的乘客的人数。再建立一个有n个元素的一位数组，数组中只有0和1,其中1代表该层有人下，0代表该层没人下。例如：给定n=8;r=6（楼8层，乘了6个人）,则建立的二维随机矩阵及与之相关的应建立的一维数组为：m=001000100000000000010000000000000001000010000100c=110101114、解决方法（MATLAB程序代码）：2n=10;r=10;d=1000;a=0;forl=1:dm=full(sparse(randint(1,r,[1,n]),1:r,1,n,r));c=zeros(n,1);fori=1:nforj=1:rifm(i,j)==1c(j)=1;break;endcontinue;endends=0;forx=1:nifc(x)==1s=s+1;endcontinue;enda=a+s;enda/d5、实验结果ans=6.5150那么，当楼高11层，乘坐10人时，电梯需停次数的数学期望为6.5150。（二）题目二1、问题：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.2、问题分析（1）题目中共有3个约束条件，分别来自原料量、工人数与甲饮料产量的限制。（2）目标函数是求获利最大时的生产分配，应用MATLAB时要转换3成求其相反数最小时的生产分配。(3)扩展讨论部分只需将模型中部分参数修改即可。3、模型建立（1）设定变量：x(1)表示甲饮料产量，x(2)表示甲饮料产量，z表示总获利。（2）线性规划模型:z=10*x(1)+9*x(2)6*x(1)+5*x(2)=6010*x(1)+20*x(2)=150x(1)=84、解决方法（MATLAB程序代码）c=[-10,-9];A=[6,5;10,20;1,0];b=[60,150,8];x=linprog(c,A,b);x=floor(x);xz=10*x(1)+9*x(2);z5、实验结果x=64z=96扩展1）将参数b改为[61,150,8],得到结果为：x=64z=96投资后，总利润并没有增加，而且花费了投资成本。所以，不应该作这项投资。扩展2）将参数c改为[-11,-9],得到结果为：x=72z=88每百箱甲饮料获利增加1万元，若按模型改变生产计划，则总利润反而会减小。所以，不应改变生产计划。4（三）题目三1、问题：27个立方形排成3*3*3的三维阵列。如果三个盒子在同一水平线上，或同一条垂直线上，或同一条对角线上，则认为三盒一线，这样的线共有49条：水平线18条，垂直线9条，水平面对角线6条，垂直面对角线12条，对角面对角线4条。现有白球13个，黑球14个，每个盒子中放入一球，如何投放，使有单一色球的线数最少？2、问题分析（1）题目属于排列组合问题，情况较多且规律性不强，因此难于使用理论推导，故考虑采用计算机模拟。（2）根据题目信息，找出形成单一色球线的各种情况的一些规律，统计每种情况下单色球线数，并计录比较出最小情况。3、模型建立（1）建立一个27个单元的一维向量数组，分别代表27格方格单元，列出49种出现单色线的情况。（2）建立计数器，记录每种情况下的单色球线数并比较出最少情况4、解决方法（MATLAB程序）由于程序较长，此处只给出部分代码。建立模拟向量及计数器：a=zeros(1,27);sum=49;insert=zeros(1,14);统计各种情况单色线数：fori=1:9temp=linecolor(a(3*i)+a(3*i+1)+a(3*i+2));iftemp0templine=templine+1;endendfori=1:9:26forj=1:3temp=linecolor(a(i)+a(i+3)+a(i+6));i=i+1;iftemp0templine=templine+1;endendi=i-3;endfori=1:95temp=linecolor(a(i)+a(i+9)+a(i+18));iftemp0templine=templine+1;endendfori=1:26temp1=linecolor(a(i)+a(i+4)+a(i+8));temp2=linecolor(a(i+2)+a(i+4)+a(i+6));iftemp10templine=templine+1;endiftemp20templine=templine+1;endendfori=1:3:7temp1=linecolor(a(i)+a(i+10)+a(i+20));temp2=linecolor(a(i+2)+a(i+10)+a(i+18));iftemp10templine=templine+1;endiftemp20templine=templine+1;endendfori=1:3temp1=linecolor(a(i)+a(i+12)+a(i+24));temp2=linecolor(a(i+6)+a(i+12)+a(i+18));iftemp10templine=templine+1;endiftemp20templine=templine+1;endendtemp1=linecolor(a(0)+a(13)+a(26));temp2=linecolor(a(8)+a(13)+a(18));temp3=linecolor(a(2)+a(13)+a(24));temp4=linecolor(a(6)+a(13)+a(20));iftemp10templine=templine+1;endiftemp20templine=templine+1;endiftemp30templine=templine+1;endiftemp40templine=templine+1;end子函数：functionr=linecolor(n)ifn==3||n==0r=1;elser=0;endreturn;5、实验结果sum=4insert=123581215181921222527即最少单色球线数为4条，其中放黑球单元为：1235812151861921222527。（四）题目四1、问题：在某海域测得一些点（x,y）处的水深z由下表给出，穿的吃水深度为5英尺，在矩形区域(75,200)*（-50,150）里的哪些地方船要避免进入。2、问题分析分析该区域内各个地方的水深情况，比较各点的水深与船的吃水深度，深度小于或等于船的吃水深度的地方即为船要避免进入的危险区域。3、模型建立（1）利用插值法，得到海底各处深度的分布情况，并画出海底地貌图像。（2）通过与船吃水深度的条件比较，得到危险区域的平面图。4、解决方法（MATLAB程序）画出此区域海底深度图像：x=[129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5];%x=sort(x);y=[7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5];%y=sort(y);z=[-4,-8,-6,-8,-6,-8,-8,-9,-9,-8,-8,-9,-4,-9];[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(75,200)',linspace(-75,150),'v4');surf(X,Y,Z)画出深度为5英尺的等深线：contour(X,Y,Z,[-5,-5],'r.')5、实验结果xyz129140103.588185.51951057.5141.52314722.5137.585.54868688xyz157.5107.57781162162117.5-6.5-81356.5-66.584-33.599889497下图中红色等深线内为危险区域。8（五）题目五1、问题：一位四年级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等。试建立模型给他提出决策建议。2、问题分析（1）这是一个决策问题，是半定性、半定量的。因此，考虑使用层次分析法进行分析解决。（2）将问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重。3、模型建立（1）假设设定：有3家公司，分别是百度、腾讯与阿里巴巴。选择中考虑的主要因素为：发展前景、经济收入、单位信誉和地理位置。分别用x1、x2、x3、x4代表这四个因素，y代表综合评价参数，w代表权值向量。所以，综合评价方程模型可设为：y=w1x1+w2x2+w3x3+w4x4（2）主要数据：（将评价转换成百分制分数）公司\因素发展前景经济收入单位信誉地理位置百度934000元/月（80）90北京（85）腾讯914400元/月（88）86深圳（88）阿里巴巴943800元/月（76）89杭州（90）3）层次分析图:94、解决方法赋值:x1/x2=3/4;x1/x3=3/2;x1/x4=3/2;x2/x3=2;x2/x4=2;x3/x4=1.则该问题的判断矩阵为:A=1,3/4,3/2,3/24/3,1,2,22/3,1/2,1,12/3,1/2,1,1经过一下MATLAB程序可求出各因数在综合评价中的权值：A=[1,3/4,3/2,3/2;4/3,1,2,2;2/3,1/2,1,1;2/3,1/2,1,1];[n,n]=size(A);p=ones(n,100);q=ones(n,100);m=zeros(1,100);m(1)=max(p(:,1));q(:,1)=p(:,1);p(:,2)=A*q(:,1);m(2)=max(p(:,2));q(:,2)=p(:,2)/m(2);l=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));whilekpi=i+1;p(:,i)=A*q(:,i-1);m(i)=max(p(:,i));q(:,i)=p(:,i)/m(i);k=abs(m(i)-m(i-1));enda=sum(q(:,i));w=q(:,i)/a;t=m(i);w5、实验结果综合评价的权值向量为：w=0.27270.3636100.18180.1818所以综合评价方程为：y=0.2727x1+0.3636x2+0.1818x3+0.1818x4.那么三家公司的综合评价得分为:百度:y=0.2727*93+0.3636*80+0.1818*90+0.1818*85.=86.2641腾讯：y=0.2727*91+0.3636*88+0.1818*86+0.1818*88.=88.4457阿里巴巴：y=0.2727*94+0.3636*