错位相减法求和

1.（12江西T16）已知数列na的前n项和21()2nSnknkΝ,且nS的最大值为8.（1）确定常数k，求na；（2）求数列922nna的前n项和nT.【测量目标】错位相减法求和.【难易程度】中等【试题解析】（1）当nkΝ时，212nSnkn取最大值，即22211822kkk，故4k，从而19(2)2nnnaSSnn…，(步骤1)又1172aS，92nan.（步骤2）（2）19222nnnnanb，12nTbb…223122nb…21122nnnn，212111112221...44222222nnnnnnnnnnnTTT.（步骤3）2.(11四川T20)设d为非零实数，122111(C2C(1)CC()nnnnnnnnnaddndndnn*N(1)写出123,,aaa并判断{}na是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设()nnbndan*N，求数列{}nb的前n项和nS．【测量目标】等比数列的通项，错位相减法求和，根据数列的前n项求数列的通项公式.【难易程度】较难.【试题解析】（1）1223(1)(1)adaddadd012231111CCCC(1)(1)1nnnnnnnnnnnnaddddddaddada因为d为常数，所以{}na是以d为首项，1d为公比的等比数列.（步骤1）（2）212021222120121(1)(1)2(1)3(1)(1)[(1)2(1)3(1)(1)]nnnnnbnddSddddddnddddddnd(1)2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]nndSddddnd(2)（步骤2）（2）（1）2221(1(1))[(1)]()(1)1(1)nnnnddSddndddnddd1(1)(1)nnSdnd（步骤3）3.（10宁夏T17）设数列na满足21112,32nnnaaa,（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）令nnbna，求数列的前n项和nS【测量目标】错位相减法求和.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时，111211[()()()]nnnnnaaaaaaaa21233(222)2nn2(1)12n.(步骤1)而12,a所以数列{na}的通项公式为212nna.(步骤2)（Ⅱ）由212nnnbnan知35211222322nnSn①(步骤3)从而23572121222322nnSn②(步骤4)①-②得2352121(12)22222nnnSn.即211[(31)22]9nnSn.(步骤5)4.（10四川T21）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈*N都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈*N)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈*N)，求数列{cn}的前n项和Sn.【测量目标】等差数列的性质，错位相减法求和，等差数列的通项.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意，令.6221,2123aaanm可得（步骤1）再令.20821,3135aaanm可得（步骤2）（Ⅱ）2121212(1)12(1)12121,(2)28[]()8nnnnnnnnnmaaaaaaaN*当时由已知以代替可得于是即（步骤3）.81nnbb所以，数列.8的等差数列是公差为nb（步骤4）（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）的解答可知1316,8.nbbaa是首项公差为的等差数列则82nbn.即212182,nnaan（步骤5）令由已知（令m=1）可得，22111,2nnaaan（步骤6）那么,21211212nnnnaaaan=822122nnn于是，12nncnq（步骤7）当q=1时，24621.nSnnn（步骤8）当1q时，01212462nnSqqqnq.（步骤9）两边同乘q可得1231246212nnnqSqqqnqnq（步骤10）上述两式相减即得1231(1)2(1)2nnnqSqqqqnq=1221nnqnqq=11121nnnqnqq所以112121nnnnnqnqnqSq（步骤11）综上所述，112111211nnnnnnqnqnqnqSqq（步骤12）5.(09全国IT20)在数列{}na中，11111,(1)2nnnnaaan（I）设nnabn，求数列{}nb的通项公式；（II）求数列{}na的前n项和nS.【测量目标】已知递推公式求通项，错位相减法求和.【难易程度】较难【试题解析】（I）由已知有1112nnnaann，即112nnnbb，从而2112bb32212bb…111(2)2nnnbbn…（步骤1）于是121111222nnbb…=112(2)2nn…（步骤2）又11b所以数列{}nb的通项公式:1122nnb(*nN)（步骤3）（II）由（I）知122nnnan,nS=11(2)2nkkkk111(2)2nnkkkkk（步骤4）而1(2)(1)nkknn,又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkknnS=(1)nn1242nn（步骤5）