(完整word版)抛物线的常见结论

抛物线的常见结论一、知识点总结1.抛物线的弦长公式2122122124)(11xxxxkxxkl，其中k是弦所在直线的斜率，21,xx是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。2122122124)(11yyyymyyml，其中弦长所在直线方程为bmyx，21,yy是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。2.抛物线的焦点弦对于抛物线，022ppxy，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，过A,B做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D，那么有：①221221,4pyypxxABFCDOα由222pmyxpxy得0222ppmyy（＊），因此44)(2222121221ppyyxxpyy②焦点弦长pxxAB21，焦点弦长2sin2PABsin4)(sin2122121yyyyyyAB，结合（＊）式与tan1m得：sinsinsinsincos2sin1tan12sin4tan4sin4422222222222pppppmpAB22sin2sinsin12pp③PBFAF211简单证明如下:pppyypyyPBFAFBFAFBFAF222sinsinsin211221212④焦点三角形面积sin22PS简单证明如下：以AB为底，以O到AB的距离为高，该三角形面积课表示为：sin2sin2sin221sin2122pppOFABSAOB⑤焦点弦相关的几何关系：a.以AF/BF为直径的圆与y轴相切b.以AB为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.c.以CD为直径的圆与AB相切d.A,B在准线上的投影对F的张角为90°，90CFDe.以A,B为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。3.经过x轴上一点oa,的直线与抛物线相交与两点2211,:,,:yxByxA，不论其斜率为何值，都有payyaxx2,21221成立。特别地，当pa2时，0222121paayyxx，此时OBOAOBOA,0。反之结论亦能成立，当,0,OBOAOBOApa2,AB所在直线经过定点0,2p。二、相关题型总结1、与焦点弦相关的求值问题例1：过抛物线C：24xy的焦点F的直线交C于A，B两点，若5||4AF，则||BF=（）A．2B．52C．4D．5例2：已知F为抛物线212yx的焦点，过F作两条夹角为45°的直线1l2l，1l交抛物线于A，B两点，2l交抛物线于C，D两点，则CDAB11的最大值为（）A．1+24B．1+22C．12D.22例3:已知直线3(1)yx交抛物线24yx于A，B两点（点A在x轴上方），点F为抛物线的焦点，那么BFAF=（）A．5B．4C．3D．2例4：已知抛物线220ypxp，的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB，CD与抛物分别相交于A，B以及C，D，若111BFAF，则四边形ACBD的面积的最小值为（）例5：过抛物线22,0ypxp的焦点做倾斜角为60〫的直线，与抛物线交于A,B两点(A在上方)，则||||AFBF例6：已知F是抛物线24yx的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为1的直线，与抛物线交于A,B两点(A在上方)，则||||AFBF例7：过抛物线抛物线24yx的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A,B两点，若||3AF,则三角形AOB的面积为2、抛物线中与结论3相关的求值问题例1：设抛物线C：220ypxp，，过点M(,0)p的直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为12,kk，则12=kk（）A．-1B．2C．﹣2D．不确定例2：已知直线与抛物线24yx交于两点A，B且两交点纵坐标之积为32，则直线恒过定点（）A．（1，0）B．（2，0）C．（4，0）D．（8，0）例3:如图，已知直线与抛物线22xpy交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2,4)，则p的值为（）A．2B．4C．32D．52例4：设抛物线24yx的焦点为F，过点2,0的直线交抛物线于,AB两点，与抛物线准线交于点C，若25ACFBCFSS，则AF（）(A)23(B)4(C)3(D)22、抛物线综合问题例1：直线l与抛物线y2=4x相交与A，B两点，若OA⊥OB（O是坐标原点），则△AOB面积的最小值为（）A．32B．24C．16D．8例2：若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为（）A．6B．C．9D．例3：已知A，B是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足ABSFBABOAB32,3,则AB的值为（）A．B．C．4D．2