不等式选讲-近三年高考真题汇编详细答案版

分类汇编：不等式选讲2014年真题：1．[2014·广东卷]不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．1．(－∞，－3]∪[2，＋∞)2．[2014·湖南卷]若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为x－53＜x＜13，则a＝________．2．－33．[2014·陕西卷]A．(不等式选做题)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．3．A.54．[2014·重庆卷]若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．4.－1，125．[2014·江西卷](1)(不等式选做题)对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为()A．1B．2C．3D．45．(1)C6．[2014·福建卷](Ⅲ)选修4­5：不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.6.(Ⅲ)解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.7．[2014·辽宁卷]选修4­5：不等式选讲设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤14.7．解：(1)f(x)＝3x－3，x∈[1，＋∞），1－x，x∈（－∞，1）.当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤43，故1≤x≤43；当x1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x1.所以f(x)≤1的解集M＝x0≤x≤43.(2)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得16x－142≤4，解得－14≤x≤34，因此N＝x－14≤x≤34，故M∩N＝x0≤x≤34.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝xf(x)＝x(1－x)＝14－x－122≤14.8．[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修4­5：不等式选讲若a0，b0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值．(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由.8.解：(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，当且仅当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于436，从而不存在a，b，使2a＋3b＝6.9．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修4­5：不等式选讲设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．9．解：(1)证明：由a0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－（x－a）＝1a＋a≥2，所以f(x)≥2.(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)5得3a5＋212.当0a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)5得1＋52a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.10．[2014·浙江卷](1)解不等式2|x－2|－|x＋1|＞3；(2)设正数a，b，c满足abc＝a＋b＋c，求证：ab＋4bc＋9ac≥36，并给出等号成立条件．解：(1)当x≤－1时，2(2－x)＋(x＋1)＞3，得x＜2，此时x≤－1；当－1＜x≤2时，2(2－x)－(x＋1)＞3，得x＜0，此时－1x0；当x2时，2(x－2)－(x＋1)＞3，得x8，此时x8.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．(2)证明：由abc＝a＋b＋c，得1ab＋1bc＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab＋4bc＋9ac)1ab＋1bc＋1ca≥(1＋2＋3)2，所以ab＋4bc＋9ac≥36，当且仅当a＝2，b＝3，c＝1时，等号成立．2013年真题：1．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数的不等x式无解,则实数的取值范围是_________【答案】2．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.【答案】23．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x的解集为_________【答案】0,44．（2013年高考湖北卷（理））设,,xyzR,且满足:2221xyz,2314xyz,则xyz_______.【答案】3147二、解答题5．（2013年新课标Ⅱ卷数学（理））选修4—5;不等式选讲设均为正数,且,证明:(Ⅰ);(Ⅱ).【答案】6．（2013年辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲已知函数fxxa,其中1a.53xxaa,8(I)当=2a时,求不等式44fxx的解集;(II)已知关于x的不等式222fxafx的解集为|12xx,求a的值.【答案】7．（2013年福建数学（理））不等式选讲:设不等式*2()xaaN的解集为A,且32A,12A.(1)求a的值;(2)求函数()2fxxax的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A,且12A,所以322a,且122a解得1322a,又因为*aN,所以1a[来源:学科网](Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3xxxx当且仅当(1)(2)0xx,即12x时取得等号,所以()fx的最小值为38．（2013年江苏卷（数学））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知ba0,求证:baabba223322[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D证明:∵baabba223322)(223223bbaaba)(22222babbaa[来源:Z|xx|k.Com])2)()(()2(22bababababa又∵ba0,∴ba0,0ba02ba,∴0)2)()((bababa∴0222233baabba∴baabba2233229．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲已知函数=,=.(Ⅰ)当=2时,求不等式的解集;(Ⅱ)设-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.【答案】当=-2时,不等式化为,设函数=,=,其图像如图所示从图像可知,当且仅当时,0,∴原不等式解集是.(Ⅱ)当∈[,)时,=,不等式≤化为,∴对∈[,)都成立,故,即≤,∴的取值范围为(-1,].2012年真题（部分）1.【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数()2fxxax（1）当3a时，求不等式()3fx的解集；（2）若()4fxx的解集包含[1,2]，求a的取值范围.【答案】（1）当3a时，()3323fxxx2323xxx或23323xxx或3323xxx1x或4x（2）原命题()4fxx在[1,2]上恒成立24xaxx在[1,2]上恒成立22xax在[1,2]上恒成立30a2.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数x使|||1|3xax成立，则实数a的取值范围是.【答案】42a.【解析】不等式3|1|||xax可以表示数轴上的点x到点a和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x到点a和点1的距离之和最小时即是x在点a和点1之间时，此时距离和为|1|a，要使不等式3|1|||xax有解，则3|1|a，解得42a.3【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知()|1|()fxaxaR，不等式3)(xf的解集为}12{xx。(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若kxfxf)2(2)(恒成立，求k的取值范围。【答案】【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用，第(Ⅰ)问，要真对a的取值情况进行讨论，第(Ⅱ)问要真对)2(2)(xfxf的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。本题属于中档题，难度适中．平时复习中，要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。4【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且【答案】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想.5.【2012高考江苏24】[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知实数x，y满足：11|||2|36xyxy，，求证：5||18y．【答案】证明：∵3||=|3|=|22|22yyxyxyxyxy，由题设11|||2|36xyxy，，∴1153||=366y。∴5||18y。【考点】绝对值不等式的基本知识。【解析】根据绝对值不等式的性质求证。