弹性力学与有限元法

弹性力学及有限元基础ElasticityMechanicsandFiniteElementMethod大连交通大学机械工程学院主讲教师：许明伟2内容简介有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。这一方法目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。本章介绍了如下内容:有限元法的发展历史有限元法的基本思想平面问题有限元分析原理及步骤有限元法的设计应用及计算实例第一章有限元法的基本概念课程目标（1）了解什么是有限元法、有限元方法的基本思路。（2）掌握有限元法的基本原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限元法的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、轴对称问题的概念等。（3）了解有限元软件的发展水平，了解用有限元软件分析简单工程问题的方法。1有限元法的基本概念2020/7/54在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：●用解析法求得精确解；●用数值解法求其近似解。其中，能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。1.1有限元法的发展历史2020/7/55目前，工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法有限元法边界元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。2020/7/56“有限元法”的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。“有限元法”这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。2020/7/5图1新型双向拉索悬索桥图2中华和钟材料力学研究简单形状物体的应力和应变，复杂形状物体如何研究？2020/7/5如何处理？连续体离散体弹性体离散过程分为自然离散（如架）逼近离散（连续体）有限元法的计算步骤归纳为以下三个基本步骤：网格划分，单元分析，整体分析。（1）网格划分有限元法的基础是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过单元节点相连接。由单元、结点、结点连线构成的集合称为网格。1.3有限元法的计算步骤图3三角形3节点单元图4四边形4节点单元图5平面问题的三角形单元划分图6平面问题的四边形单元划分对于弹性力学问题，单元分析，就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。图7三角形3结点单元（2）单元分析以平面问题的三角形3结点单元为例。如图所示，单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移u、v和两个结点力U、V。单元的所有结点位移、结点力，可以表示为结点位移向量：结点位移结点力单元的结点位移和结点力之间的关系用张量（tensor）来表示：mmjjiievuvuvummjjiieVUVUVUFeeeKF对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移，这个过程为整体分析。再以弹性力学的平面问题为例，如图9所示，在边界结点i上受到集中力作用。结点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一结点上的结点力汇集在一起建立平衡方程。iyixPP,图9整体分析（3）整体分析i结点的结点力：i结点的平衡方程：eeiiiiUUUU)()3()2()1(e)e(i)3(i)2(i)1(iVVVViyeeieixeiPVPU)()(变形体受力情况的描述基本变量:u(位移),应变(ε),应力(σ)基本方程:(1)力平衡方程(2)几何方程(3)物理方程即三大类变量三大类方程求解方法：(1)经典解析(2)半解析法(3)传统数值解法(4)现代数值解法(计算机软硬件、规范化、标准化、规模化、计算机化受自重作用的等截面直杆1.2有限元法的基本思路下面用自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路：（1）等截面直杆在自重作用下的材料力学解答例：受自重作用的等截面直杆，杆的长度为L，截面积为A，弹性模量为E，单位长度的重量为q，杆的内力为N。试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。)()(xLqxNEAdxxLqEAdxxNxdu)()()(xxLxEAqEAdxxNxu02)2()()()(xLEAqdxdux)(xLAqExxo（2）等截面直杆在自重作用下的有限元法解答1）离散化2）用单元结点位移表示单元内部位移)()(1iiiiixxLuuuxuiiiiLuudxdu1iiiiiLuuEE)(1iiiiiLuuEAAN)(1位移应变应力载荷3）把外载荷集中到节点上NiNi+1i+14）建立结点的力平衡方程01u根据约束条件，对于第n+1个结点，建立所有结点的力的平衡方程，可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出n+1个未知的结点位移例：将受自重作用的等截面直杆划分成3个等长的单元，试按有限元法的思路求解各节点的位移？对于结点1，对于结点2，同样，对于结点3有，对于结点4，可以有两种处理方法：解：定义单元的长度为3La01uEAqauuu23212EAqauuu2432223qaNauuEAN)(343EAqauu224304L45uu433LL2353433)11(2)1(aEAquuuEAqauu2243(1)直接用第3个单元的内力与结点4上的载荷建立平衡方程(2)假定存在一个虚拟结点5，与结点4构成了虚拟单元4在结点4上前面公式：整理后得到线性方程组，EAqaEAqaEAqauuu211121012222432EAqauEAqauEAqau29425242322解得：有限元法的基本思路:用单元节点的位移表示单元内任意一点的位移、应变和应力。从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。软件名称简介MSC/Nastran著名结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性接触问题分析软件1.4算法与有限元软件表1常用的有限元分析软件有限元软件开发商的网址：MSC中国，中国，http：//，，，，有限元法已经成功地应用在以下一些领域：固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析；传热学；电磁场；流体力学。下面介绍一些有限元法应用的实例。图10转向机构支架的强度分析1.5应用实例采用ANSYS,ABAQUS,ADINA,MSC四大知名软件分析环板式针摆行星传动针齿与摆线轮动态啮合分析实体模型简化实体模型网格划分摆线针轮应力云图2020/7/5slide31箱体一阶振型图箱体二阶振型图环板第一阶振型环板第三阶振型四环板针摆行星传动典型零件的有限元模态分析2020/7/5slide32输入轴第三阶输入轴第四阶振型输出轴第一阶振型图输出轴第三阶振型图图11型材挤压成形的分析图12螺旋齿轮成形过程的分析采用DEFORM软件模拟挤压时微观组织变化，预测平均粒度的变化和缺陷发生发展的过程。挤压成形(a)模拟结果(b)实物图13T形锻件的成形分析锻造成形图14焊接过程的温度分布与轴向残余应力焊接过程残余应力图16淬火3.06min时的温度分布淬火温度分析思考题1、什么是有限元法？2、试简述有限元法的基本思路。作业1、用有限元法解决等截面直杆问题。2020/7/5第二章弹性力学平面问题的基本方程本章介绍了如下内容:弹性力学的基本变量平面应力和平面应变问题平面问题的基本方程弹性力学的基本方程1、平衡方程2、几何方程3、物理方程弹性力学的基本假定1、完全弹性2、连续3、均匀，各向同性4、小变形2.1弹性力学基本变量(1)体力：体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。(2)面力：面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。(3)应力：物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。SAQA0lim图1应力定义图2应力分量剪应力互等：yxxyzyyzzxyzxyzyx,,,,,物体内任意一点的应力状态可以用六个独立的应力分量来表示xzzx应力分量的下标约定：第一个下标表示应力的作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方向。正应力由于作用表面与作用方向垂直，用一个下标。应力分量的方向定义：如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。（4）位移位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示。（5）应变物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用ε表示。两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，用γ表示。与应力定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示。zxyzxyzyx、、、、、共同特点：等厚度的薄板；面力和体力都平行于板面，且面力沿厚度均匀地作用在板的周边上；在板面上无外力作用。图3平面应力问题示意图平面问题分为:1、平面应力问题;2、平面应变问题2.2平面应力和平面应变问题(1)平面应力问题注意：上述弹性体，在与z轴垂直的两个侧面上不受约束，可以任意变形。所以在平面应力问题中有：σz=0而εz≠0设板厚为t，则在板两表面上的边界条件为：02tzz02tzzx02tzzy由于平板很薄，外力不沿厚度变化，因此，在整块板上有：0z0zx0zy剩下三个应力分量：xyxy未知，，(2)平面应变问题共同特点：几何形状：近似等截面的长柱形体，长度比横截面大很多。受力：支承情况不沿长度变化，只受到平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力。（隧道、水坝）图4平面应变问题示意图注意：平面应变问题εz=0而σz≠0以柱体的任意横截面为XY平面，任一纵线为Z轴,假定该柱体为无限长，则任一截面都可以看作对称面。由对称性，有由于没有Z方向的位移，Z方向的应变0,0,0wzyzx0z未知量为三个应变分量:物体在z方向处于自平衡状态图4平面应变问题示意图(1)平衡方程在物体中取出一个微小单元体建立平衡方程。2