数学建模姜启源第五章微分方程模型

第五章微分方程模型5.1传染病模型5.2经济增长模型5.3正规战与游击战5.4药物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作用5.6人口预测和控制5.7烟雾的扩散与消失5.8万有引力定律的发现动态模型•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程5.1传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设ttititti)()()(若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模0)0(iiidtdiitteiti0)(?sidtdi1)()(tits模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模ttNitstittiN)()]([)]()([0)0()1(iiiidtdi~日接触率SI模型teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型21/2tmii010t11ln01itmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm1itLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率ttNittitNstittiN)()()()]()([建模/~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。0)0()1(iiiiidtdi1,01,11)(i)]11([iidtdi模型3i0i0接触数=1~阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(idi/dt0110ti11-1/i0t1di/dt0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtstittNittitNstittiN)()()()]()([模型4SIR模型很小）通常000)0((1rrsi无法求出的解析解)(),(tsti在相平面上研究解的性质is~ttitNststtsN)()()]()([00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型}1,0,0),{(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析)(sisi101D模型4SIR模型相轨线及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向0,itP1s0/1imsP1:s01/i(t)先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0ssss00lnln模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s01/的估计0ln1000sssis0i忽略•降低s0提高r01000ris•提高阈值1/降低(=/),群体免疫模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=5.2经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术•建立产值与资金、劳动力之间的关系•研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大•调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长1.道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)))(),(()(0tLtKFftQF为待定函数资金K(t)劳动力L(t)技术f(t)=f0)(/0ygfLQz10,)(yyg0,LQKQ模型假设静态模型),(),(0LKFfLKQ每个劳动力的产值LQz每个劳动力的投资LKyz随着y的增加而增长，但增长速度递减yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生产函数含义？0,2222LQKQ)/(0LKLfQDouglas生产函数10),(LKfLKQ0,0LSKSrwLK1w,r,K/L求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大资金和劳动力创造的效益wLrKQS资金来自贷款，利率r劳动力付工资w2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）LyKLKy,3)经济(生产率)增长的条件(动态模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增长,K(t),L(t)应满足的条件模型假设•投资增长率与产值成正比(用一定比例扩大再生产)•劳动力相对增长率为常数)(0yLgfQyyg)(LyfdtdK00,QdtdKLdtdLteLtL0)(LydtdyLdtdKLyfdtdK0LydtdyLdtdKyfydtdy0Bernoulli方程11)1(0100)()(tefyfty0010000000,,/QKLKfQLKy00010KKfy11)1(000])1(1[)(teKKfty)(11/10)1(00AeKKdtdQt成立当AKKt),/1)(1ln()1(1000yygyLgfQ)()(0dtdLygfdtdyygLfdtdQ)()(00成立A0产值Q(t)增长dQ/dt03)经济增长的条件])1([10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B0成立时当BKK,1/000劳动力增长率小于初始投资增长率每个劳动力的产值Z(t)=Q(t)/L(t)增长dZ/dt03)经济增长的条件dtdyyfdtdZ105.3正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型0),(),()(0),(),()(tvyyxgtytuxyxftx一般模型•每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力•每方非战斗减员率与本方兵力成正比•甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型)()(tvybxytuxayx正规战争模型•甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战xxprbbxg,•忽略非战斗减员•假设没有增援00)0(,)0(yyxxbxyayxf(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，py~命中率)(ty)(tx0ak0k0kbk0k正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系00)0(,)0(yyxxbxyayxaybxdxdy2020bxaykkbxay22000yxk时平方律模型甲方胜0k平局0kyyxxprprabxy200乙方胜游击战争模型双方都用游击部队作战•甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加•忽略非战斗减员•假设没有增援yrxxxxssrprddxyyxg/,),(00)0(,)0(yyxxdxyycxyxf(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积)(tycm0dm)(tx0m0m0m游击战争模型00)0(,)0(yyxxdxyycxyx00dxcymmdxcy乙方胜时000yxmyryyxrxxssrssrcdxy00线性律模型甲方胜0m平局0mcddxdy)(ty)(tx0乙方胜,0n平局,0n甲方胜,0n00)0(,)0(yyxxbxycxyx混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队020222bxcynnbxcy02002cxbxy乙方胜0n100)/(200xy02002xsrsprxyryyxxx乙方必须10倍于甲方的兵力设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=0.1(km2),sry=1(m2)5.4药物在体内的分布与排除•药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)•血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计•药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学•建立房室模型——药物动力学的基本步骤•房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移•本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)中心室周边室给药排除)(0tf111)(),(Vtxtc222)(),(Vtxtc12k21k13k)()(02211131121tfxkxkxktx模型假设•中心室(1)和周边室(2),容积不变•药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比•药物从体外进入中心室，在二室间相互转移,从中心室排出体外模型建立2,1~~)(~)(iVtctxiii容积浓度药量给药速率~0f2211122)(xkxktxtttteBeAtceBeAtc222111)()(1321132112kkkkk2211122121022112113121)()()()(ckckVVtcVtfckVV