沪科版八年级数学下册四边形辅助线常用做法

1四边形常用的辅助线做法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.2例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.图7说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.3解：过A作AG⊥BE于G，AC，BD交于O，则AGBO是正方形，AG=AO==，又AG⊥GE，所以，∠AEG=30°．∠CFB=∠AEG=30°，∠FBC=∠FBA+∠ABC=135°，∠BCF=180°-∠CFB-∠FBC=15°，∠BCF=∠AEB．说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.四边形中常用的辅助线四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种：(1)连结对角线或平移对角线．(2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形．(3)涉及面积问题的，常构造直角三角形．(4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形．(5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线．(第1题)1．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点．E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是(C)A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关【解】连结AR.4∵AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF＝12AR，∴当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，线段EF的长不变．(第2题)2．如图，四边形ABCD放在一组距离相等的平行线中，已知BD＝6cm，四边形ABCD的面积为24cm2，则两条平行线间的距离为(A)A.2cmB.3cmC.4cmD.1cm【解】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，则S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AE·BD＋12CF·BD＝12BD(AE＋CF)．∵BD＝6cm，四边形ABCD的面积为24cm2，∴AE＋CF＝8cm，∴两条平行线间的距离为2cm.3．(淄博中考)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则PGPC等于(B),(第3题))A.2B.3C.22D.33【解】延长GP交DC于点H.∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴BC＝DC，BG＝FG.∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP.由题意可知DC∥FG，∴∠GFP＝∠HDP.又∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP(ASA)，∴GP＝HP，FG＝DH，∴BG＝DH，∴BC－BG＝DC－DH，即CG＝CH，∴△HCP≌△GCP(SSS)，∴∠GCP＝∠HCP＝12∠BCD，∠HPC＝∠GPC＝90°.∵DC∥AB，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠GCP＝60°，5∴易得PGPC＝3.4．已知P是正方形ABCD内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为5．(第4题解)【解】如解图，把△ABP绕点B顺时针旋转90°，到达△CBQ的位置，连结PQ.由旋转的性质，得PB＝BQ，∠PBQ＝90°，AP＝CQ，∴△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB2＋BQ2＝（2）2＋（2）2＝2，∠BPQ＝45°，∴∠CPQ＝135°－45°＝90°，∴△PCQ是直角三角形，∴AP＝CQ＝PC2＋PQ2＝12＋22＝5.(第5题)5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为2－1．【解】过点E作EF⊥DC于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ODC＝45°，AC⊥BD.∵CE平分∠ACD，EF⊥DC，∴CO＝CF，∠DEF＝45°＝∠ODC，∴EF＝DF.∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝2，∴CO＝12AC＝22，∴CF＝CO＝22，∴EF＝DF＝DC－CF＝1－22，∴DE＝EF2＋DF2＝2－1.(第6题)6．如图，P为▱ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，▱ABCD的面积记为S，试探究S1＋S2与S之间的关系．6(第6题解)【解】如解图，过点P作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F.∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴四边形ABFE，四边形EFCD都是平行四边形，∴S1＝12S▱ABFE，S2＝12S▱EFCD.∵S▱ABFE＋S▱EFCD＝S，∴S1＋S2＝12S.(第7题)7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.求：(1)∠A，∠C的度数．(2)AD，BC的长度．(3)四边形ABCD的面积．【解】(1)∵∠A＋∠C＝360°－∠B－∠D＝360°－90°－90°＝180°，∠A∶∠C＝1∶2，∴∠A＝60°，∠C＝120°.(2)分别延长BC，AD相交于点E.在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∴∠E＝30°，∴AE＝2AB＝4，∴BE＝23.在Rt△EDC中，易得EC＝2CD＝2，ED＝3，∴AD＝AE－ED＝4－3，BC＝BE－EC＝23－2.(3)S四边形ABCD＝S△ABE－S△EDC＝12×23×2－12×3×1＝323.(第8题)8．如图，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC和EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．【解】连结AF，CE.∵AC和EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，AE∥CF.又∵BE＝DF，∴AB＝CD，7∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形．9．如图①，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于点N.,(第10题))(1)求证：MD＝MN.(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图②)，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【解】(1)如解图①，取AD的中点F，连结FM.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠ABC＝90°.又∵M，F分别是AB，AD的中点，∴AM＝MB＝12AB＝12AD＝DF＝AF.又∵∠A＝90°，∴∠AFM＝45°，∴∠DFM＝135°.∵BN平分∠CBE，∴∠MBN＝90°＋45°＝135°，∴∠DFM＝∠MBN.∵MN⊥DM，∴∠NMB＋∠DMA＝90°.又∵∠FDM＋∠DMA＝90°，∴∠FDM＝∠NMB，∴△DFM≌△MBN(ASA)，∴MD＝MN.(第10题解)(2)成立．证明如下：如解图②，在AD上取一点F，使得AF＝AM.同理于(1)的证明过程，可得∠FDM＝∠BMN，∠DFM＝∠MBN＝135°.∵AD＝AB，AF＝AM，∴DF＝MB，∴△DFM≌△MBN(ASA)，∴MD＝MN.1、已知：如图，正方形ABCD中，∠ACE=30°，ED∥AC；求证：AE=AF8连接AC过E作EG垂直于AC于G，证AC=AE，得角AEC=角AFE=75度，既得AE=AF2、如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AH⊥EF，垂足为H，求证：AH=AB.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，使AD与AB重合，得三角形ABC，则三角形ADF全等于三角形ABC,即可得AH=AB3、已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点。求证：AP=AB。延长CF、BA交于点M，证三角形AMF全等于三角形DCF,得AM=CD=AB,再得PA是直角三角形BPM斜边上的中线，即可得AP=AB.4、如图，已知：正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠EAD.求证：AE=DF+BE.证明：延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图），证△ADF≌△ABG，再证EA=EG即得AE-BE=DF．5、如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，连结AP、EF。（1）试说明AP=EF的道理；（2）猜想AP与EF有怎样的位置关系，并说明理由。（1）AP=EF理由如下：连接PC，证△APB≌△CPB得AP=CP即得AP=EF(2)AP⊥EF理由如下：延长AP交EF于点H,由（1）的结论及Rt△两锐角互余即得AP⊥EF6、如图，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样速度向B、C、D、A各点移动。（1）试判断四边形PQEF是正方形，并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小？最大？各是多少？FEDCBAHFEDCBAP9解:(1)证△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF.得FP=PQ=QE=EF，即得四边形PQEF为正方形;(2)连接PE交AC于O，连接PC、AE，证四边形APCE为平行四边形.即得PE总过AC的中点;(3)正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，当P与顶点B重合时，面积最大，其最大面积等于正方形ABCD的面积.7、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。（1）答：△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF；（2）四边形ABDF是平行四边形，（3）过A作AH⊥BC，求出AH即可求面积.8、如图，点M，N分别在平行四边形ABCD的边BC，A