北大医学数字图像处理3.6Mallat算法

第三章小波变换§3.6Mallat算法3.6.1函数的多尺度逼近已知，由一个给定的多尺度分析{}()()(){},jjzjjzVttWϕψ∈∈⇒可以确定小波以及相应的小波空间，而且，。所以，对于任何()2mmLRW+∞=−∞=⊕()()2ftLR∈，存在()(),,,jkjkjkzftdψ∈=∑t，（1）其中()(),,,,,jkjkdfttjkψ=z∈。由离散小波变换的定义知，{},,jkjkzd∈就是()ft的正交小波变换，（1）式就是()ft的重构公式，或称()ft的正交小波分解。令()(),,jjkjkzkgtdψ∈=∑t，则jjgW∈，而1jjjWVV−⊕=，而的频率范围恰好是jV1jV−的一半，且是1jV−中的低频表现部分，所以jW的频率表现在与jV1jV−之间的部分，它表现的是一个有限频带。所以通常说jV表现了1jV−的“概貌”，而jW表现了的“细节”。由于1jV−jW的频带是互不重叠的，所以每一个表现的是不同频带中的“细节”。可以把（1）式写成：jW()()jjzftg∈=t∑，（2）1第三章小波变换()()2ftLR∈说明：任何一个函数，可以分解成不同频带的细节之和。不同j对应的频带互不重合，且是充满整个空间的。如此，正交离散小波变换{},,jkjkzd∈的时－频窗相互邻接、互不重合(见下图所示)。Fig.1TheillustrationinFigureiscommonlyusedtoexplainhowtimeandfrequencyresolutionsshouldbeinterpreted.EveryboxinFig.1correspondstoavalueofthewavelettransforminthetime-frequencyplane.Notethatboxeshaveacertainnon-zeroarea,whichimpliesthatthevalueofaparticularpointinthetime-frequencyplanecannotbeknown.Allthepointsinthetime-frequencyplanethatfallsintoaboxisrepresentedbyonevalueoftheWT.(CF:THEWAVELETTUTORIALbyRobiPolikar)实际问题中，由于物理仪器记录下的信号只有有限的分辨率，任何函数()()2ftLR∈只有有限的细节。我们将具有最精细的细节的函数空间记为，并假设0V()0ftV∈，由于2第三章小波变换01122112......JJJVVWVWWV−=+=++==+++++1故，()()()()()()()11,,,,1...JJJJJkJkikikkzikzftftgtgtgtctdϕψ−∈=∈=++++=+∑∑∑t（3）where()()()(),,,,,,,,JkJkikikcfttdfttkϕψ==z∈讨论：()(),,JJkJkkztctϕ∈=∑：是()fft在JV空间的投影，表示()ft的频率不超过2J−的成分，这是()ft在尺度下的一种连续逼近（平滑逼近），越大，逼近越差，是JJ()ft第级的“模糊象”；称其系数J,Jkc为的离散逼近；()(),,iikikzgtdtψ∈=k∑：是()ft在中的投影，是频率iW()ft在到2i−12i−+之间的细节成分，也就是两级相邻平滑逼近之差，反映了这两级逼近间的误差，为1,iVV−i()ft在尺度下（或频率i2i−）的一种连续细节；称3第三章小波变换其系数为,ikd()ft的离散细节，就是小波变换。（3）式对所有()1JJ≥成立。StéphaneMallatProfessorofAppliedMathematics,EcolePolytechnique,CentredeMathématiquesAppliquéesProfessorattheCourantInstituteofMathematicalScienceNewYorkUniversity3.6.2Mallat快速算法„快速分解算法当已经确定时，只要知道()(),tϕψt{},jkkzc∈就可以得到函数()()2ftLR∈的多尺度逼近()jft；同理，只要知道{},jkkzd∈，就能得到()ft在j尺度下的细节。实际上，{},jkkzc∈和{},jkkzd∈的计算相对于j有传递关系。考虑4第三章小波变换1,kc{}0,kkzc∈与的递推关系：由于，01VVW=+1()()()011ftftgt=+，()22kkzthtkϕϕ∈⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑，所以()()()()()()()()()()1,1,11,11,01,0,0,1,,,,,,kkkkknnkkzcfttfttgttfttcttϕϕϕϕϕϕ∈==+==∑注意：()()11,,0kgttϕ=。但是()()1,21122222,2kllzmkmztkhthtmmklϕϕϕϕ∈−∈⎛⎞=−=−⎜⎟⎝⎠=−=+∑∑kl−所以5第三章小波变换()()()()1,0,0,20,220,,,,knnmknzmznnknznknnzccthtmctnhtnchkzϕϕϕϕ−∈∈−∈−∈=−=−−=∈∑∑∑∑1,jkc+{},jkkzc∈的递推关系：与考虑由于，11jjjVVW++=+()()()11jjjftftgt++=+，()22kkzthtkϕϕ∈⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑所以()()()()()()()()()()()()1,1,11,11,1,,,1,,,1,,,,,,,jkjkjjkjjkjjkjnjnjknzjnjnjknzcfttfttgtfttcttcttϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++∈+∈==+===∑∑t6第三章小波变换而()()()()()()11122,1,12,22,2222,2jjjjjjnjkjjtttntktntkϕϕϕϕϕϕ−−+−−−−−+−−−=−=−−−考虑双尺度方程12222222ljjlzmkjmzttkhkthmϕϕϕ+∈−∈⎛⎞⎛−=−−⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∑∑l⎞⎟⎠所以()()()()()(),1,222,22,222,2jjjjnjkmkmzjjjnknktttnhtmtnhtnhϕϕϕϕϕϕ−−−+−∈−−−−−=−−=−=∑−从而得到Mallat快速算法（快速分解公式）：7第三章小波变换21,,1,,2,,nkjkjnnzjkjnnknzcchkdcgk−+∈+−∈=∈=∈zz∑∑（4）从上式可以看出，只要知道双尺度方程中的传递系数{}{}()()11,1nnnnnnznzhgg−−∈∈=−h，就可由{}0,nnzc∈计算出和，再由{}1,nnzc∈{}1,nnzd∈{}1,nnzc∈算出{}和，。。。其过程可如图表示：2,nnzc∈{}2,nnzd∈0c1c1d2c2d3c3d分解算法示意图„快速重构算法下面说明，可以由{}1,jnnzc∈＋和{}1,jnnzd∈＋重构出。{},jnnzc∈因为8第三章小波变换()()()()()()()(),,,1,1,,,,,jkjkjjkjjkjjkcfttfttfttgttϕϕϕϕ++===+（5）Where()()()()()()()()1,1,1,,1,1,,1,,1,1,2,,,,jjkjnjnjknzjnjnjknzjnjkjnnzjnknnzfttcttctctchϕϕϕϕϕϕ+++∈++∈++∈+−∈====∑∑∑∑ttϕ（6）（最后一步是因为()()2,1,,knjkjntthϕϕ−+=）而()()()()()()1,1,1,,1,1,,,,,jjkjnjnjknzjnjnjknzgttdttdtϕψψϕ+++∈++∈==∑∑tϕ由双尺度方程知道9第三章小波变换()()1221,,112112,2,2222,22222,22jjjnjkjjjjjjljjlzttttnkttnkttgnlkψϕψϕψϕϕϕ+−−++−−+−−∈⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛=−−⎜⎟⎜⎝⎠⎝∑i⎞−2222,222,22jmnjjmzjknjjknttgmkttgkkgϕϕϕϕ−−∈−−−⎟⎠⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=∑将这个结果再带入()()()()1,1,1,,,,jjkjnjnjknzgttdtϕψ+++∈=tϕ∑中可得：()()1,1,,2jjkjnknnzgttdgϕ++∈=−∑，（7）把式（6）和（7）带入（5）可得：,1,21,2,jkjnknjnknnznzcchdgkz+−+−∈∈=+∑∑∈（8）这样从{}1,jnnzc∈＋和{}1,jnnzd∈＋重构出了{},jnnzc∈，这种重构算法10第三章小波变换可以图示如下。Jc1Jc−Jd2Jc−1Jd−0c1d1c重构算法示意图3.6.3函数数值形式的多尺度分解和重构„函数数值形式的多尺度分解一个函数实际上只有数值形式(){}kzfk∈,当没有其它信息时，这个序列就是的最精细的细节逼近，可以认为()ft(){}kzfk∈是在某空间尺度的投影，若设这个尺度空间为()ftjV0V()()()00,,00,kkkkzkzftctctϕϕ∈∈==∑∑k−由于当采样间隔充分小时，()tkϕ−类似于()tkδ−的行为，所以在尺度为0时，可以取()0,,kcfkkz=∈于是在的表达式，也就是在尺度()ftjVj下的逼近式为()()j2,,,22jjkjkjkjkzkztftctcϕϕ∈∈⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∑∑－k−，11第三章小波变换由上式可得()j2,22,jjjkfkckz=∈－Where21,,,nkjkjnnzcchk−+∈z=∈∑这就是在()ft在尺度j下的逼近的数值形式。„函数数值形式的多尺度重构由于()()()1jjjftftgt−=+，所以()jft相对于()1jft−的细节差异（剩余细节）为()(),,2,2,112,2112,212222222222jjkjkkzjjkjkzjjkljkzlzjjknkjkznzjjknkjnzkzgtdttdktdgkltdgntdgnψψϕϕϕ∈−∈−−∈∈−−−−∈∈−−−−∈∈=⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑∑∑∑∑−12第三章小波变换由上式可以得到()112,222,jjjjknkkzgndgn−−−−∈=∈∑zWhere1,,2d,jkjnnknzcgkz+−∈=∈∑。这就是(){}2jjkzfk∈相对于(){}112jjkzfk−−∈的细节的数值形式。13