北大医学数字图像处理3.2窗式傅里叶变换

第3章小波变换3.2窗式傅里叶变换3.2.1FourierTransform局域化特性分析由于利用它可以把许多常见的微分、积分和卷积运算化简成代数运算，所以傅里叶变换成为一种刻画函数空间，求解微分方程，进行数值运算的有效工具。FT在平稳信号分析和处理中有着突出的贡献的基本原因在于，人们利用它可以把复杂的时间信号和空间信号转换到频率域中，然后用频谱特性去分析和表示时域信号的特性。傅里叶变换对：()()ftFu⇔[]()()exp,FftjtdtRωωω+∞−∞=−∈∫[]1()()exp2ftFjtdωωωπ+∞−∞=∫可见：从时间（模拟）信号中提取频谱信息()Fω，就是使用（－∞，∞）的时间信息来计算单个频率的频谱；或者说，频域过程()Fω的任一频率组成部分的值，是由时域过程()ft在（－∞，∞）上决定的。过程()ft在任一时刻的状态也是由()Fω在整个频域（－∞，∞）的量决定。()ft()F故，和ω彼此间的整个刻画，不能反映各自局部区域上的特征。也就是说，人们虽然从傅立叶变换能清楚地看到一个信息包含的每一个频率的多少，但很难看出不同信号何时发射和发射了多长时1第3章小波变换间，缺少时间信息使得傅立叶分析变得脆弱而容易失误。伊利诺依斯大学教授Y.Meyer曾说：“若你记录1小时长的信息而在最后5分钟出错，这一错误就会毁了整个傅立叶变换。相位的错误是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误，你最后就会发现你所干的事与最初的信号无关了。”（科学前沿P241）实际上，对常见的不平稳信号，如语音信号、音乐信号、探地信号、核探测的脉冲信号、以及核医学的图像信号等，它们的频域特特性是随时间变化的，人们需要了解某些局部时段上所对应的主要频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时段上，也就是需要了解时－频局部化要求。对于这种时－频局部化要求，傅立叶变换是无能为力的。Examples.Astationarysignal()()()()(cos210cos225cos250cos2100)xttttππππ=•••+•••+•••+•••tisastationarysignal,becauseithasfrequenciesof10,25,50,and100Hzatanygiventimeinstant.Fig.1astationarysignal2第3章小波变换AndthefollowingisitsFT:Fig.2ThenextfigureshowsAsignalwithfourdifferentfrequencycomponentsatfourdifferenttimeintervals,henceanon-stationarysignal.Theinterval0to300mshasa100Hzsinusoid,theinterval300to600mshasa50Hzsinusoid,theinterval600to800mshasa25Hzsinusoid,andfinallytheinterval800to1000mshasa10Hzsinusoid.3第3章小波变换Fig.3AndthefollowingisitsFT:Fig.44第3章小波变换Forthe“chirpsignal”(唧声信号,),thefrequencycomponentschangecontinuously.Fig.5ChirpsignalThesimilaritybetweenthesetwospectrum(inFigs.2and4)shouldbeapparent.Bothofthemshowfourspectralcomponentsatexactlythesamefrequencies,i.e.,at10,25,50,and100Hz.Otherthantheripples,andthedifferenceinamplitude(whichcanalwaysbenormalized),thetwospectrumsarealmostidentical,althoughthecorrespondingtime-domainsignalsarenotevenclosetoeachother.Bothofthesignalsinvolvesthesamefrequencycomponents,butthefirstonehasthesefrequenciesatalltimes,thesecondonehasthesefrequenciesatdifferentintervals.So,howcomethespectrumsoftwoentirelydifferentsignalslookverymuchalike?RecallthattheFTgivesthespectralcontentofthesignal,butitgivesnoinformationregardingwhereintimethosespectralcomponentsappear.Therefore,FTisnotasuitabletechniquefornon-stationarysignal,withoneexception:TheFTgiveswhatfrequencycomponents(spectralcomponents)existinthesignal.Nothingmore,nothingless.Whenthetimelocalizationofthespectralcomponentsareneeded,atransformgivingtheTIME-FREQUENCYREPRESENTATIONofthesignalisneeded.-R.Polikar5第3章小波变换3.2.2窗式FourierTransform（GaborTransform）Gabor在1946年提出WindowedFourierTransform。其基本思想是：将一个信息的频率一部分一部分地分析。通过该方法，人们至少可以说，无论发生了什么，它一定是发生在信息的某个特定部分。„窗式傅立叶变换或Gabor变换的定义思路：把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，短时性可通过在时间上加窗实现。在傅立叶积分中，使用空间窗口函数()gtu−与信号相乘，实现在附近的开窗和平移，然后进行傅立叶变换。)(tfu在线性空间有一个可测的、平方可积的函数()2()ftLR∈，对其进行窗式傅立叶变换：()R(,)()jtfGuftgtuedξξ−=−∫t其中积分核()jtgtueξ−−：ThewindowedFouriertransformfamilyofatomsisobtainedbytimetranslationsandfrequencymodulationsoftheoriginalwindow.Thisatomhasafrequencycenterξandissymmetricwithrespectto.u实际上，()()jtftgtueξ−−在点附近度量了频率为uξ的正弦分量的幅度。„时窗（TimeWindow）时窗函数：通常选窗口函数为能量集中在低频处的实偶()gt函数；是选择在0tt迅速趋于零的所谓“钟型”函数，信号在乘)(tf6第3章小波变换以平滑移动的窗函数后，有效地抑止了(gtu−)tu=的邻域以外的信号，所以，再对()()ftgtu−进行傅立叶变换所得的结果，反映了时刻附近的局域频谱信息，从而达到了时域局域化的目的。tu=g(t)tg(t-u)f(t)f(t)g(t)Fig.6对窗函数，可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中心和时窗半径。()gt时窗中心()()22*RRttgtdtgtdt=∫∫设()2R1gtdt=∫，那么()2*Rttgtd=∫t，()()1/222*Rtttgtdt⎡⎤Δ=−⎢⎥⎣⎦∫时窗半径()()()1/2222*RRtttgtdtgtdt⎡⎤Δ=−⎢⎥⎣⎦∫∫7第3章小波变换这样定义的时窗函数的窗口为()gt**,tttt⎡⎤−Δ+Δ⎣⎦，窗口宽度为。2tΔ可按定义推出窗函数(gt)τ−的时窗中心表达式：()()**tgttgtττ−=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦时窗半径：()tgttτΔ−=Δ⎡⎤⎣⎦。„频窗（FrequencyWindow）时窗函数的傅立叶变换()gtˆ()()Ggωω=为频窗函数。定义频窗中心()()22*RRGdGdωωωωω=∫∫ω频窗半径()()()12222*RRGdGdωωωωωωω⎡⎤Δ=−⎢⎥⎣⎦∫∫当频窗平移η后，频窗为(G)ωη−相应的频窗中心和频窗半径()()**GGωωηωωη−=+⎡⎤⎣⎦()GωωηωΔ−=Δ⎡⎤⎣⎦„时-频窗（Time-FrequencyWindow）8第3章小波变换Fig.6Fig.7从以上定义知，和()gt()Gω分别起着时窗和频窗的作用，在时间－频率坐标系中，时窗和频窗共同作用的结果就构成了时-频窗，这样就从几何上直观地描述了时频局部化。3.2.3窗口傅立叶变换的反演公式如果是时窗函数，要求和()gt*ttΔ均为有限值，即要求()22Rtgtdt+∞∫或者为了判断简单，只需()3/21,gttt→+∞，（1）类似，如果()Gω是频窗，则只需满足9第3章小波变换()3/21,Gtωω→+∞，（2）也就是说，若要一个函数作为时窗，其谱函数()gt()Gω作为频窗，则和()gt()Gω同时具有较强的衰减性，应同时满足以上两式。例取时窗函数()()()0(),,10elsewheregtttandtdtδδδ∞−∞∞⎧==⎨⎩∫，t＝＝，，是否能同时使傅立叶变换达到时频局部化？()()gttδ=显然满足()3/21,gttt→+∞，故可以此函数达到时域局部化;()tδ函数的频谱恒为1，不满足（2），故()Gω不能作为频窗起到频阈局部化的作用。只有存在反演公式时的积分变换才有意义。窗口傅立叶变换的逆变换式：()R1()(,)2jtfRftGuegtudduAωωωπ=−∫∫，where()()22RRAgtudugtdt=−=⎡⎤⎣⎦∫∫这里的理解可以是，信号()ft用“基”()jtegtuω−展开，而(,)fGuω是在时频点(,u)ω邻域内对信号()ft的贡献。由窗口傅立叶变换对函数（信号）进行的分析，相当于用一个10第3章小波变换形状、大小和放大倍数相同的“放大镜”在时－频相平面上移动去观察某固定长度时间内的频率特性，如Fig.6所示。这里的问题是：尽管窗式傅立叶变换能解决变换函数的局域化问题，但是，其窗口的大小和形状是固定的，即窗口没有自适应性。这意味着什么？而在实际问题中，对于高频谱的信息，由于波形相对要窄，时间间隔要相对的小以给出比较好的精度，也就是更好地确定峰值和断点，或者说需要用窄的时域窗来反映信息的高频成分；而对于低频谱的信息，时由于波形相对是宽的，时间段要相对的宽才能给出完整的信号信息，或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分。而用Gabor变换，如果你选择一扇宽窗子，低频成分可以看得清楚，在高频部分确定时间时就很糟糕；若你选一扇窄窗子，在高频可以很好确定时间，但在低频的频率就可能装不进去。这样，真正合适的做法是“放大镜”的长宽是可以变化的，在时－频相平面上分布可如Fig.8所示。tω1t2t1ω2ωFig.8正是为了实现这样的目的，人们引进了小波变换。11