3-1-刚体的定轴转动解析

电子工程学院杨小红1第三章刚体与流体电子工程学院杨小红2教学基本要求一理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系.二理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定律.三理解角动量概念，掌握刚体绕定轴转动的角动量定理及角动量守恒定律.四理解理想流体的概念，掌握流体连续性方程，掌握伯努利方程及其应用。电子工程学院杨小红3刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动.刚体平动质点运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线.一刚体的平动与转动电子工程学院杨小红4转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动.电子工程学院杨小红5刚体平动时，其上各点具有相同的速度、加速度、及相似的轨迹。只要找到一点的运动规律，刚体的平动规律便可以全知道。事实上，常常利用质心的运动来了解物体平动规律。平动和转动刚体的一般运动蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为一个随质心的平动加上绕质心的转动电子工程学院杨小红6刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+电子工程学院杨小红7刚体定轴转动的特征1)、刚体上各质点都在垂直于固定转轴的平面内作圆周运动。参考方向oo)irivPim2)、各质点作圆周运动的半径在相同的时间内转过的角度相同。所以刚体中所有质点都具有相同的角位移、角速度、角加速度。二刚体绕定轴转动的角速度和角加速度电子工程学院杨小红8zx二刚体绕定轴转动的角速度和角加速度参考平面)()(ttt角位移)(t角位置00约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动tttddlim0角速度矢量方向:右手螺旋方向参考轴1角速度和角加速度)(t电子工程学院杨小红9角加速度tdd1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.,,a,v定轴转动的特点刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.00zz电子工程学院杨小红102匀变速转动公式刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动at0vv22100attxxv)(20202xxavvt0)(2020222100tt当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比电子工程学院杨小红113角量与线量的关系tervrtev2ntraratanan2tereratddtt22dddda电子工程学院杨小红12飞轮30s内转过的角度radπ75)6π(2)π5(2220220srad6π30π50t例1一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求:（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；解（1）,sradπ510.0t=30s时，设.飞轮做匀减速运动00时，t=0s转过的圈数r5.37π2N电子工程学院杨小红1310sradπ4)66ππ5(t2tsm105.0)6π(2.0ra222nsm6.31)π4(2.0ra（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解:m2.0,sradπ510r已知：.求：1sm5.2π42.0rv解:电子工程学院杨小红14问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力的作用点的位置对物体的运动有影响吗？0,0iiMF圆盘静止不动0,0iiMF圆盘绕圆心转动FFFF力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.电子工程学院杨小红15电子工程学院杨小红16Pz*OFdFrMsinMFrd:力臂d刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.FrFrM对转轴Z的力矩F三力矩转动定律转动惯量M1力矩电子工程学院杨小红17zOkFr讨论FFFzFrkMzsinzrFMzFF1）若力不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量F2）合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM其中对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩zF电子工程学院杨小红183）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零.0ijMM电子工程学院杨小红19z2转动定律iiiirmamFtt)(2)(iiirmMiiiiiramFrMtt)(imirOitFrat22)()(iiiiirmrmMM转动定律JM2iirmJ转动惯量电子工程学院杨小红20转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22质量元:md刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.转动定律JM2iirmJ转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置.注意电子工程学院杨小红21lO´Ordr设棒的线密度为，取一距离转轴OO´为处的质量元rrmddrrmrJddd22讨论：一质量为m、长为l的均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化.rd2l2lO´O20231dmlrrJl转轴过端点垂直于棒22/02121d2mlrrJl转轴过中心垂直于棒电子工程学院杨小红22OROR403π2dπ2RrrJRrdr例一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量.mR解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环rrd2πRm而rrmdπ2d圆环质量221mRJ所以rrmrJdπ2dd32圆环对轴的转动惯量电子工程学院杨小红23例关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（Ａ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关．（Ｂ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（Ｃ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（Ｄ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．（Ｃ）电子工程学院杨小红24例关于力矩有以下几种说法:（1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量;（2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;（3）质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,他们的角加速度一定相等;在上述说法中(A)只有（2）是正确的;(B)（1）、（2）是正确的;(C)（2）、（3）是正确的;(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.电子工程学院杨小红252mdJJCO平行轴定理P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量CJmddCOm注意2221mRmRJP圆盘对P轴的转动惯量RmO电子工程学院杨小红26竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？电子工程学院杨小红27解：1）分析受力例1如图,有一半径为R质量为的匀质圆盘,可绕通过盘心O垂直盘面的水平轴转动.转轴与圆盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一端固定在圆盘上,另一端系质量为m的物体.试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.m2）选取坐标注意:转动和平动的坐标取向要一致RommRo'TmPTmy电子工程学院杨小红283）列方程（用文字式）ymaTmg牛顿第二定律（质点）JRT转动定律（刚体）2/'2RmJ转动惯量先文字计算求解，后代入数据求值.Ray约束条件TT)'2(2mmmgay)'2/('mmmgmT])'2[(2RmmmgRommyRo'TmPTm电子工程学院杨小红29例2质量为的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B从BmCm再求线加速度及绳的张力.静止落下距离时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCm电子工程学院杨小红30ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra解（1）隔离物体分别对物体A、B及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.T2FT1FCPCF电子工程学院杨小红312CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF如令，可得0CmBABAT2T1mmgmmFF（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCmT1FT2F电子工程学院杨小红32（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律fM结合（1）中其它方程JMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRaJMRFRFfT1T2T2FBPBmAPT1FNFAmT2FT1FfM电子工程学院杨小红332/)/(CBAfBAT1mmmRMgmmF2)2(CBAfCABT2mmmRMgmmmF2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCmT1FT2FJMRFRFfT1T2amFAT1amFgmBT2BRa电子工程学院杨小红34例3一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NFJmglsin21ml2loPNF电子工程学院杨小红35式中231mlJddddddddtt得sin23lg由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lgJmglsin21ml2loPNF