理论力学概念整理-第2章

34第2章力系的平衡§2.1概念答疑一、一般力系的平衡条件力系的平衡条件：0R∗=F，且0O=M1.对任何物体系统，若外力满足'0R=F，0O=M，则此物系一定是平衡的，对吗？答：不对。在一般情况下，物系虽不受外力作用，但内力作功，可改变物系的运动状态，上述几何平衡条件仅对于单个刚体的平衡是充分的。2.如图2.1所示，物体在A、B、C三点受力，力三角形自行封闭，则物体处于平衡，对吗？答：不对。该力系虽主矢'0R=F，但主矩0AM≠，物体显然不平衡。物体受共点力系时，0R∗=F才是平衡的充要条件。3.立方体受力如图2.2(a)，有人认为，只要在A点加上力F(虚线所示)，便可使立方体平衡，对吗？图2.1ABC1F3F2F图2.2A'AABBCC'C'CDD'D'DFFFFFFFFFFFF（a）(b)35答：不对。在A点加上F力后，新力系的主矢0R∗=F，但主矩0B≠M，立方体不能平衡。只有沿CC'方向加力F，图(b)所示，立方体才能平衡。4.若平面汇交力系对任意两点A、B之矩为零，则此力系一定是平衡的，对吗？答：不对。当A、B两矩心与汇交点共线，且力系对于AB轴对称时，如图2.3所示汇交力系中，虽有0AMΣ=，0BMΣ=，但该力系并不平衡。5.平面一般力系，满足0AMΣ=，0BMΣ=，0=ΣxF，则一定平衡，对吗？答：不对。应补充AB不垂直x轴的条件，否则条件不充分。如图2.3所示情形，力系虽满足上述三个方程，但并不平衡。6.空间一般力系对任意六根轴之矩等于零，则该力系一定平衡，对吗？答：不对。此条件不充分，例如当六根轴分别相交于两点，而力F又通过该两个交点时，虽满足力系对六轴之矩分别为零，但显然不平衡；又如，当有3根以上的轴交于一点时，设某力系汇交于该点，则有多于3个的力矩平衡方程自动满足，这样独立平衡方程便少于3个，不能保证力系平衡。7.均质等边三角板水平悬挂，受力如图2.4，求三绳张力时，有人用如下三个平衡方程求解，对吗？TTT0ABCzFFFFPQΣ=++−−=TT'0BCOMPAOQAOFABFACΣ=⋅+⋅−⋅−⋅=TT'0ACBMPBOQBOFABFBCΣ=⋅+⋅−⋅−⋅=图2.3FxAB图2.4PxzQyABCO'OTAFTBFTCF1F1Fθθ36答：不对。力对点之矩是矢量，此处各力对A点之矩的方向并不相同。这里误作了代数量处理，所得结果必错。平衡方程的独立性8.有人说，对于图2.5所示刚架，AC、BC各有三个独立平衡方程，而对整体又可列出三个平衡方程，则共有九个独立平衡方程，对吗？答：不对。如果使用了两平面力系刚体的共6个平衡方程，则整体平衡方程可由之导出，它们与上述6个方程互不独立；如果使用整体及其中一刚体的共6个平衡方程，则另一刚体的三个平衡方程也可由之导出。故该系统的独立平衡方程只有6个。9.图2.6所示两铰拱，A、B支座处，4个未知约束力，可由,0=ΣxF,0=ΣyF,0=ΣAM,0=ΣBM共4个平衡方程联立解出，对吗？答：不对。平面一般力系，只有三个独立平衡方程，第四个方程一定是前三个的某种线性组合，是不独立的。该结构为静不定，四个未知量不可由平衡方程全部求出。10、某力系中，各力的作用线平行于某一定平面，则独立平衡方程个数是3，对吗？答：不对。平行于某平面的力线不一定共面，如图2.7所示，只有，0,zFΣ≡故该力系独立平衡方程还有5个。图2.6AxFAyFBxFByF1F2F图2.5ABCF1F3711.如图2.8所示力系中，各力的作用线均与定直线a相交，该力系在Oxyz坐标系中的独立平衡方程还有6个，对吗？答：不对。因为该力系对以α为一轴的正交坐标系，只有5个独立平衡方程，且可证明这组方程与该力系对Oxyz系的平衡方程完全等价，故在Oxyz系中该力系独立平衡方程也只有5个。12.空间平衡力系向三个相互垂直的坐标平面投影，得到三个平面任意力系，这样，该力系独立平衡方程数为3×3＝9个，对吗？答：不对。因为其中一个平面上的三个投影方程，完全可由其它两组方程导出，故独立平衡方程数只有6个。13.均质杆AB、AC，铅垂架在粗糙水平面上，并处于临界平衡，如图2.9所示。研究整体，其受力为平面一般力系，则可解出3个未知量，对吗？答：不对。只能解两个未知量，因为0≡ΣxF。证明如下：由,0=ΣBM得PFCN=，由,0=ΣCM得PFBN=，而BBNsFFf=，CCNsFFf=0=−=Σ∴ssxPfPfF。实际上，这是个平面平行力系问题。图2.71Fz2FnF图2.9PPABCNBFNCFBFCFαα图2.10ABCFAxFAyFByFAMBMBxF图2.81FiFzxOya38二、物体系统的平衡静定和超静定14.图2.10所示结构由两个物体构成，独立平衡方程数是3×2＝6，而支承约束力是6个，故该结构是静定的。对吗？答：不对。应计入铰C处的两个约束力，这样，未知约束力共8个。3×2＜8，故此结构为二次超静定。15.图2.11所示桁架中，有6根二力杆，即6个未知力，而4个节点，其有2×4个平衡方程。这种算法对吗？答：不对。未知力应计入支座A和B约束力（这里有三个），3+62+4，故此结构为一次超静定。16.图2.12(a)所示结构中，不计杆重，共有6个未知力(2个约束力，4杆内力)，且有3×2个独立平衡方程，故是静定结构，对吗？答：不对。如图(b)所示，虽AC、BD均属平面一般力系，但整体属于平面平行力系。实质上，只有5个独立方程，故为超静定结构。17.计算图2.13所示桁架内力时，先研究整体求出约束力后，再作图示截面，图2.11ABF图2.12ABCDFNAFACDBFNBF(a)(b)39围线内部分属平面一般力系，可求出三个未知力大小F1、F2、F3，对吗？答：不对。因为围线内部分与另一部分的平衡方程完全等价，本质上是平面汇交力系，只有两个独立方程，不可解三个未知量。18.刚架受力如图2.14所示，由于外力和结构均对称，则有0==BxAxFF，对吗？答：不对。此刚架为超静定结构，不能由平衡方程得出全部外力的解答。此处，AxF、BxF的大小不能确定。19.如图2.15所示刚架在AC上作用力偶矩为M的力偶，由于力偶的可移性，将M移至BC上，并不改变结构的外力效用，对吗？答：不对。力偶的可移性，如同力的可传性及力线的平移，只能限于单个静定的刚体。这里，视整体ACB为刚体时，为“超静定”问题。事实上，力偶移动后，二力构件由BC变为AC，C处约束力变化，因而A、B处约束力随之改变。图2.13AAxFAyFBByFF1F2F3FF图2.14AxFAyFABByFBxFFF图2.15ABCm40§2.2思考解析思考2-1如图所示力系各力分别沿正方体棱边作用且大小相等，试加一力使其平衡。思考2-1图答：同§2.1-3。思考2-2指出下列各空间力系独立平衡方程数目。①各力线均平行于某平面；②各力线均平行于某直线；③各力线均相交于某直线；④各力线分别汇交于某两点；⑤一个平面任意力系加一个平行于此任意力系所在平面的平行力系。答：5①个，3②个，5③个，5④个，⑤4个。思考2-3①若例2.9中悬挂点B，C不等高时，有何变化？②对于图（b）示悬索桥(荷载q沿水平方向均匀分布)，试求钢索曲线形状。思考2-3图答：①B、C不等高时，任意微段sΔ受力如图（c），由平衡可得TcosHFFθ=（水平常力）Tsin()dFqssθ=∫∴d1tg()ddHyqssxFθ==∫。(a)(b)41而22d(d)(d),sxy=+∴21/22d1[1(()d)]dHsqssxF=+∫分离变量积分得12)212[1(()d)]dHqssFsx+∫=∫应用悬索边界条件，可确定上式的积分常数。FH可由整体平衡确定。②由对称性，取悬索中点0为坐标原点，并取任意微段分析，受力如图（d）由平衡，TcosHFFθ==常数，且Tsin()dFqxxθ=∫故d1tg()ddHyWxxxFθ==∫积分1(())dHyqxdxxF=∫此处qxq=)(=常数积分两次得)2(1212cxcqxFyH++=由边界条件oyx==0|，0d|0dxyx==，代入上式得021==cc故22xFqyH=再由hylx==2|，可求出hqlFH82=故224xlhy=为所求悬索形状。思考2-4试判断图中各系统是否静定？(c)kx⋅ΔO()sxx⋅ΔθTT+ΔFFθθ+ΔyΔsΔxΔTF42思考2-4图答：(a)一次超静定，(b)一次超静定，(c)一次超静定。思考2-5例2.10图(a)中，若有n根弹簧悬吊，如何求解？答：若有n根弹簧悬吊，可仍按例2.10思路，建立n-2个各弹簧内力大小关系的补充方程求解。思考2-6对于例2.11图所示，若先研究BC杆，再研究BE杆，如何求出ABF？若从研究销钉A平衡入手，如何求出ABF？答：先研究BC杆，受力如图(b)，由0BM=∑求出FC。由0XF=∑和0yF=∑，求出BxF和ByF，再研究BE杆，受力如图(c)，其中EyF已由整体平衡求出。由0=ΣDM，可求出ABF。销钉A受到支座、杆AB及杆AC的联合作用，先由整体求出支座A的约束力AxAyFF和，仍由BC，求出Fc。再对AC，由0DMΣ=，求出AC杆端一个约束分力（垂直于杆），再回到销钉A，由平面汇交力系，求出ABF。显然此法较繁。（a）例2.22图（b）43思考2-6图思考2-7对于例2.12，若在铰B处再加一力F，如图所示，试问哪些外力会变化？思考2-7图答：研究BC，由0BM=∑，可知FC不变，再研究整体，由0xF=∑可知AxF不变；AyF和MA有变化思考2-8图示光滑导槽机构，CE杆上的销钉E可沿导槽滑动。不计杆重，试分析平衡时两力偶矩1M和2M相等的条件。思考2-8图答：研究整体，当滑槽AB水平时，支座A，C处约束力AF和CF共线时，两力偶矩相等。EBBxFByFoyFxoFABFEyFD(c)44思考2-9①例2.14结构中，若在铰G处增加铅垂力F，结果如何？②若在EG段受均布荷载q，如何求解？③若由图所示三跨结构扩大为n跨后，支座约束力有何规律？答：①由例2.14求解过程知，在铰G处增加铅垂力F后铰A、B、C、D处约束力方位不变。但中间铰E、F、G处约束力方位不定。可先分析整体，受力如图。由0OMΣ=，有aFaFaFaFBc+=+22∴CBFF=（1）思考2-9图由FFFFDAx=+=Σ2222,0即FFFDA2=+（2）研究左半部分，由0=ΣFM，BAFF=⋅2（3）研究右半部分，由0=ΣFM，22⋅=+FFFcD（4）解得0===ABcFFFFFD2=。若在EG段受均布荷载q，则A、B、C、D处约束力方位仍不变，如图所示，求解思路同①，且中式（1）和（2）仍成立，式（3）和（4）中加入均布荷载效应，因而结果不同于①。③按例2.14类似的分析步骤易知，扩大为n跨后，中间可动支座约束力大小均为F，且依次改变向上，向下的方向；最后二力构杆的约束力大小仍为F22。EDCBAFFAFBFFCFDFGO45思考2-10在例2.15中，①若考虑本结构自重，如何求解？②若有n层结构，如图（d）所示，如何求解？③若A，B铰支座不在同一水平高度上，又如何求解？答：①考虑结构自重时，可仍按例2.15思路求解，但受力如图(a)、(b)、(c)约束力与自重有关。②有n层时，求解思路同例2.15，先研究整体，求出AyF和ByF及0AxBxFFF++=，再研究底层以上的(n-1)层，由0=ΣcM，求出DyF，后研究构件ODB，由00=ΣM，求出BxF。③A、B支座不在同一水平线上时，可将A、B支座约束力沿AB连线及竖直方向分解，再按上述类似步骤求解。(d)思考2-10图46思考2-11①指出图(a)、(b)所示桁架中的零杆。②试用作图法求出图(c)所示桁架中BF杆的内力。答：图(a)中零杆为：1，2，3，4，5，6，7，10。图(b)中零杆为：除BDEΔ中的三杆以外的其余各杆。②图（c）中，DEFΔ受4力平衡，如图所示。其中ECF和DAF交于点O，故O，F处二合力平衡，且合力沿OF方向，过力F端作