通信网理论基础ch2 通信信源模型

第二章通信信源模型和M/M/1排队系统2.1泊松过程2.1.1Poisson过程下面通过描述到达电话交换机的呼叫流来引入Poisson过程。到达交换机的电话呼叫流或顾客在一定条件下满足下面几个条件：（1）平稳性:在区间内有k个呼叫到来的概率与起点a无关，只与时间区间的长度有关，这个概率记为（2）无后效性：不相交区间内到达的呼叫数是相互独立的；（3）普通性:令表示长度为t的区间内至少到达两个呼叫的概率，则（4）有限性：在任意有限区间内到达有限个呼叫的概率为1，即taa,)(),(tPtaaPkk)(t1)(0tPkk)()(tot0t这种输入过程容易处理，并且应用广泛，被称为Poisson过程。下面定理2-1描述了Poisson过程的特点，并且（2-1）计算了在长度为t的时间内到达k个呼叫的概率。定理2-1对于Poisson呼叫流，长度为t的时间内到达k个呼叫的概率服从Poisson分布，即，（2-1）其中0为一常数，表示了平均到达率或Poisson呼叫流的强度。)(tPketkkkttp!)()(,2,1,0k在参数t固定的情况下，如果用表达内到的呼叫数例2-1：计算的方差和期望。)(tNt,0)(tNPoisson过程是一个很简单的随机过程，有许多良好的性质，在一定条件下将被用来模拟到达网络节点的电话呼叫流或数据包流，模拟到达网络的各种信源。Poisson过程在任何时间区间内的到达率都是一样，如果到达率随着时间变化，在习题2.9中有一个广义Poisson过程，它的到达率可以随着时间变化。2.1.2Poisson过程的性质性质2-1：m个Poisson流的参数分别为，，……，，并且它们是相互独立的，合并流仍然为Poisson流，且参数为。这个性质也就是说独立的Poisson过程是可加的。12mm21性质2-2：参数为的Poisson流到达交换局A后，每个呼叫将独立去两个不同方向，且去两个方向的概率分别为则Poisson流被分解为两个独立的Poisson流，参数分别为2121和iiP2,1i2.2Poisson过程和负指数分布的关系随机变量X满足，或分布函数为：这个分布被称之为参数的负指数分布。这个分布的概率密度函数为：tetXP}{0,1}{tetXPt0,)(tetftx例2-2：计算参数为的负指数分布的均值和方差。关于负指数分布，有如下无记忆特性：性质2-3：假定服从参数为的负指数分布，对任意有X0,st}{}{sXPtXstXP这个性质实际上表明负指数分布的残余分布和原始分布服从一致的分布，这个性质也被称为无记忆性。可以证明具有性质（2-3）的连续分布一定是负指数分布。X性质2-4：假设为相互独立的两个负指数分布，参数分别为，令则：（1）是一个以为参数的负指数分布；（2）的分布和谁是较小数无关；（3）21,TT21,),min(21TTTT21TiT21121}{tTTTP定理2-2：一个随机过程是参数的Poisson过程的充分必要条件为呼叫到达间隔相互独立，且服从相同参数的负指数分布。2,1,iXi2.3生灭过程生灭过程是一种特殊的离散状态的连续时间马尔可夫过程，或被称为连续时间马尔可夫链。生灭过程的特殊性在于状态为有限个或可数个，并且系统的状态变化一定是在相邻状态之间进行。生灭过程的极限解或稳态解有很简单的形式。生灭过程定义如果用表示系统在时刻的状态，取非负整数值。如果，称在时刻系统处于状态。当满足下面几个条件时系统称之为生灭过程。（a）在时间内系统从状态转移到的概率为，这里为在状态的出生率；)(tNt)(tNktN)(tk),(ttt)0(kk1k)(totkkk（b）在时间内系统从状态转移到的概率为，这里为在状态的死亡率；（c）在时间内系统发生跳转的概率为；（d）在时间内系统停留在状态的概率为；),(ttt)1(kk1k)(totkkk),(ttt)(to),(tttk)()(1totkk生灭过程的状态转移图…………………..011kk12k1k01k1-k1k生灭过程的稳态分布首先，表示系统从状态经过时间后转移到的条件概率，则})({)(ktNPtpk)(tpiktik01)(,0)(kikiktptp稳态分布必要条件011012010110011,,1,,1,2,3,...(1),(1)kkkkkkkkkkkkppkpppp令有形式上，从而稳态分布为，。极限定理定理2-3：对有限状态的生灭过程或对满足条件的可数状态的生灭过程，稳态分布存在，且与初始条件无关。kkkkk1关于生灭过程中微分方程和稳态方程的建立可以依照下面图2-3简单完成1kk图2-3生灭过程相邻状态的关系k1k边界1kk2.4M/M/1排队系统2.4.1排队系统概念在实际应用中，有一大类被称之为随机服务系统或排队系统。在这些系统中，顾客到来的时刻与进行服务的时间都是随机的，会随不同的条件而变化，因而服务系统的状况也是随机的，会随各种条件而波动。在电信网络中，交换机就可以看成一种随机服务系统，对于不同的电信网络，未来将使用不同的排队系统模拟不同的电信业务交换机进行分析。在下图的图2-4中表达了一个排队系统的模型。在图2-4中，外界到来一个顾客流，当顾客到达系统后，如果有空闲的服务员就得到服务。如果没有空闲的服务员，有两种可能情况，或者可以排队等待，或者系统拒绝该顾客。到来的顾客流离开的顾客流队列服务机构服务员要仔细描述一个排队系统，主要需要描述3个方面的内容：（a）输入过程；（b）服务时间；（c）排队方式等。下面使用一个随机点移动模型来说明关于排队系统的模型和假设.1t2t21……..队列服务员服务机构排队系统的假设在轴上有一些点从左向右做同速率的匀速直线运动，图2-5中的表示顾客到达排队系统的到达间隔，它们均为随机变量；表示不同顾客的服务时间，它们也是随机变量，关于，满足下面3个假设：,2,1tt,2,1iit和（1）（2）（3）在上面这个假设的基础上，排队系统将相对容易处理并可以根据将不同的排队系统分类。独立同分布；,2,1,iit独立同分布；,2,1,ii独立；和iitiit和首先，输入过程和服务时间可以分别使用一个分布来表示；一般，M表示到达为Poisson过程或服务时间为负指数分布，G表示一般分布，D表示确定性分布等等。在排队方式和队列的内容中主要包括服务员的数目，系统中等待顾客的排队方式和队列的容量等。排队的方式可以有先进先出（FIFO），后进先出（LIFO），优先级服务和随机服务等不同方式。队列的容量表示系统中对顾客总数的限制，如果队列的容量和服务员数目相同，表明系统不可以等待为即时拒绝系统；如果队列的容量为无限大，系统为不拒绝等待系统等。关于不同排队系统的记法采用肯德尔（D.G.Kendall）的记号A/B/C/D/E。A表示输入过程；B表示服务时间；C表示服务员数目；D表示系统的容量；E表示排队规则，其中D/E的缺省表示容量无限大和FIFO方式。如M/M/s，G/G/1等。对于排队系统到达率，服务率，有时服务率也被称为离去率。对于排队系统的分析，主要希望得到：（1）队长分布或其各种统计值及其估计；（2）等待时间分布或其各种统计值及其估计。][1tE][1E2.4.2Little公式Little公式描述了任意排队系统满足的关系，下面通过简单描述来说明该公式。如果表示系统中的平均顾客数，表示顾客在系统中的平均时间（这个时间有时也被称为系统时间），表示单位时间到达系统的顾客数，对于任意排队系统，有NTTN2.4.3M/M/1假设M/M/1的到达过程为一个参数为的Poisson过程，服务时间是参数为的负指数分布，如果用系统中的顾客数来表征系统的状态，容易验证这是一个生灭过程，并且k0,,2,10kkk令，根据生灭过程的性质在时M/M/1的队长分布0ppkk1111p10kk)1(pkk,2,1,0k稳态时，队长的均值和方差可以分别求解如下：顾客停留在系统中的平均时间：1)1(p][00kkkkkkNE22222202)1()1()1(])[(p][NEkNVarkk11][sE假设为顾客到达时看到的队长分布，这个分布在许多情形下不同于稳态分布，不过在到达过程为Poisson过程时和是一样的。假设为服务时间，为等待时间，为顾客在系统中的停留时间，也称之为系统时间，。定理2-5：M/M/1排队系统在稳态时，系统时间服从参数为的负指数分布。}{k}{kp}{k}{kpwswss习题2-12-22-32-42-7