2011-2012扬州大学第二学期高等代数试卷A

本试卷共3页，第2页2011-2012扬州大学第二学期高等代数试卷A数学与财经系数学与应用数学专业级1、2班答卷说明：1、本试卷共3页，四个大题，满分100分，120分钟完卷。2、字迹工整，卷面整洁。题号一二三四总分总分人题分30203020核分人得分复查人得分评卷人1、实二次型112323125(,,)644304xxxxxx的矩阵为；2、设V为实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,(13)200Ai，则V的一组基为；3.设1W与2W是V的两个子空间，则1W+2W是直和的充分必要条件是；4、在欧氏空间3R中，向量(5,0,1)，(0,2,0)，那么(,)＝，＝；5、复矩阵()ijnnAa的全体特征值的和等于，而全体特征值的积等于。6、已知三维欧氏空间V中有一组基123,,，其度量矩阵为110120003A，则向量12323的长度为，向量1232与的距离为。7、已知2301230121230,0Vftaatatataaaaaa是4Pt的一个子空间，则dimV＝，它的一组基；8、已知3Pt的两组基（Ⅰ）：22212312,2,125fttftttfttt和（Ⅱ）221231,1,2gttgttgttt，又3Pt的线性变换A满足：221232,,1fttfttftttAAA，则A在基（Ⅱ）下的矩阵为；基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵为；9、若矩阵A的特征值是，则A的特征值是；10、已知二次型222123123121323,,52424fxxxxxxtxxxxxx，则当t满足时，二次型是正定的。得分评卷人1、在线性空间nP中，V是0AXB的解空间，1V是0AX的解空间，2V是0BX的解空间，则12VVV。（）2、在全体二维实向量集合V中,按如下规定的加法与数乘运算：,,,abcdacbdac，21,,2kkkabkakba构成的线性空间中，向量11,1与22,2是线性相关的；（）3、若,都是V的线性变换，且，则的核与值域都是的不变子空间；（）4、数乘变换在任何基下的矩阵都相等；()5、对于欧氏空间V中任意向量，1是V中一个单位向量；()6、12,,,n是n维欧氏空间V的一组基，1212(,,,),(,,,)nnxxxyyy分别是V中的向量,在这组基下的坐标，则1122(,)nnxyxyxy；（）7、线性变换的特征向量之和仍是特征向量；（）8、2,3236|,,,QabcdabcdR是Q上的4维线性空间；（）9、两个n级正交矩阵之和是正交矩阵；（）10、欧氏空间的内积是一个双线性函数.()一、填空：(每空2分，共20分)二、判断：(正确的用“√”表示，错误的用“×”表示，每小题2分，共20分)本试卷共3页，第2页扬州大学高等代数得分评卷人1、设321,,,4是四维线性空间V的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为951222524331323103117（1）求A在基112342,2132334423,,下的矩阵;（2）求A的特征值与特征向量.2.设二次型222123123121323,,22448fxxxxxxxxxxxx，求一正交变换xTy化为标准形。密封线内不要答题系学号姓名密封线内不要答题密封线系学号姓名装订线三、计算题：(每小题15分，共30分)本试卷共3页，第3页扬州大学高等代数得分评卷人1、设A是m级实对称矩阵且正定，B为mn实矩阵，证明：BAB为正定矩阵的充要条件是()rankBn.2、设123,,是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：11231223，21231223，31231223也是一组标准正交基。密封线内不要答题密封线系学号姓名装订线四、证明题：(每小题10分，共20分)本试卷共页，第页